沿着爱因斯坦之路漫漫探索
——丘成桐漫谈数学与物理学交汇的三种时态
2008年5月28日下午，文新大厦二楼“文汇讲堂”的讲座现场迎来了著名华人数学家丘成桐教授。他为文汇报读者奉献了一道科普大餐，以“数学和物理学的交汇：过去、现在和未来”为题解析了数学前沿的n个猜想和影响。令我们钦佩的是，丘成桐在讲座上委托文汇报社将讲课费和其它稿费悉数捐赠给了“汶川地震灾区孤儿助养助学基金”。今天，栏目组特将讲座内容整理刊发，以飨读者。
今天很高兴来到这边，给大家讲讲数学跟物理学的交汇。可能比较专业一点，但我觉得这是个很有意思的题目。
从前我讲过一个数学跟中国文学的比较。今天讲数学跟物理学的交汇，主要是数学是一门科学，它跟大自然、也跟文学有密切的关系。对整个物理学界有很深刻的影响，因为数学是物理学界的语言。可是数学家跟物理学家有很多不同的地方，能够创造一些理论是物理学家想不到的。这是我选这个题目的主要原因。
古时：物理学和数学差别不大 古人用几何方法测得地球直径
古时候，物理学跟数学基本上没有什么大的分别。数学的发展基本上是依赖于实际的应用。《孙子算经》里的“中国剩余定理”是为纠正旧历法的需要而得来的，就是一个很好的例子。
另一方面，毕达哥拉斯学派和中国古代易经学派都把数字神秘化了。他们相信世界上万事万物都可以用数字解释。其中有些发展并不科学，可是对整个数学界跟科学界有很大的影响。但就毕达哥拉斯学派而言，它发展为抽象推理。希腊数学家又利用数学的抽象思维与唯美的观念，以初等几何（见欧几里德的《几何原本》）为基础，构建起一个演绎逻辑体系。
这种演绎推理的方法被广泛而有效地利用。无论牛顿还是爱因斯坦的名著都用演绎方法写成。爱因斯坦讲：“推理所带来的巨大成就感为人类智慧走向辉煌提供了必要的信心。”古代数学由几何学和数论开始，以后产生了代数和分析学。
实际上几何和测量学有很密切的关系。在公元前240年的时候，一个希腊的数学家Eratosthene，利用平面几何的推论来量度了地球的直径，他在埃及两个不同地方，看太阳折射的光线跟角度，用几何的方法算出来地球的直径，这是很了不起的结果。因为他算出来的结果跟我们现在知道的结果相差只有1%。他也量出来了太阳跟月球和地球的距离，就是用地球的直径来帮助量出来的。量出来的准确度都很好。
19世纪：微积分计算物理现象 肥皂泡问题成为有用工具
古时候，初等几何主要由三角、多边形、圆、球和圆锥截面构成。直到牛顿发表了他的名著，和莱布尼茨同时发明了微积分，几何的范畴才得以扩大。（当然他们能有如此卓越的成就，是因为他们站在阿基米得、笛卡尔等巨人的肩膀上。）微积分不仅仅是理解任意几何对象的关键，而且还可以在牛顿力学的基础上计算天象和种种物理现象，因此是当代科学的基础。反之亦然，牛顿力学在解决实际问题上的成功，推进了微积分的发展，进而极大地推动了数学的发展。最终，我们找到了力学的基础工具。包括多体问题的动力系统和流体动力学，激发了数学许多分支学科的发展。例如，在研究相空间的过程中，庞加莱开创了现代拓扑学的研究。欧拉、拉格朗日等人开创的流体动力学和变分法对当代科学有巨大影响。不仅关于变分法的公式在机械工程和理论物理中有重要应用，方程及其解的性质也改变了我们对经典数学的观点。对于像肥皂泡问题研究等貌似简单的学科，已经成为非常有用的工具，也是至今几何学中研究最多的问题之一。欧拉、蒙日、高斯和其它经典几何学家耗费了大量精力去研究曲面在三维空间中的性态。其中高斯的工作最为杰出，他意识到高斯曲率的内在性质。
高斯相信理解新的空间概念的惟一方法是力学（他是指物理学）。他对内蕴几何学有强烈兴趣，内蕴几何学不依赖于其所嵌入的带有全局坐标的欧几里德空间。高斯和其它几何学家已经拓展了对双曲几何学的定义。但是，直到黎曼才对内蕴几何学有了明确的定义。在这里，我引用一段爱因斯坦于1933年在剑桥大学进行斯宾塞讲座时的一段话：“但创造性的定律都源于数学。为了证明这个信念，我不得不利用一个数学概念：物理世界是由四维时空连续体表示的。如果假设其中有一个黎曼度量，并想知道这个度量可能满足的最简条件，就能得出真空万有引力的相对论理论。如果假设在真空中有一个向量场或反对称张量场，就能得到麦克斯韦真空方程。
另一方面，有趣的是，高斯和黎曼两位伟大的数学家都努力进行电磁学的基础研究。但当他们快要成功时，却被麦克斯韦抢先了，当时法拉第做了重要实验，麦克斯韦从他那里获得了第一手材料并学习了场理论的概念。这个很好的例子，也说明了研究者贴近观测是非常重要的。
观测在数学中有着重要的作用，体现在像群论和傅立叶分析等重要学科上。Frobenius,Lie和Klein关于群论的著作一直影响着数学和物理学领域。Klein提出按照对称（爱尔朗根纲领，Erlangen
program）的观点来组织几何学，Cartan则在试图合并对称和黎曼几何的定义时，发展在纤维丛上的联系。这些都成为粒子物理学的最基本工具。傅立叶理论开始时并未被广泛接受。但傅立叶理论的作用已超过了数学、工程学和基础物理。
20世纪：几何与物理加速度交织 数学加盟GPS定位仪制作
在过去的一个世纪，数学和物理学的发展迅速而内容深入和广泛，即使是过去的数学和物理学大师也必定难以置信。在世纪之交，伟大的数学家庞加莱、希尔伯特和Cartan在纯数学和应用数学领域作出了重要贡献。这对几何和理论物理的发展有着深远的影响。
庞加莱对狭义相对论的发展作出了贡献，为了研究动力系统的相空间，他创立了现代拓扑学的基础。拓扑学是很重要的学科，它影响了整个世纪。希尔伯特则致力于数论、几何不变量的理论和广义相对论中重力作用的研究。
爱因斯坦的广义相对论对于几何的发展有着深远的影响。可以这样讲，如果没有引进黎曼几何（由Grossman向爱因斯坦建议），建立广义相对论还需要更长的时间。反过来，广义相对论对几何的发展特别是在20世纪是很重要的。物理学家对大自然有不同的深入的洞察力，这是数学家缺乏的。而从洞察力引起的数学观念往往带来很新鲜同时意想不到的效果。
就我个人的经验而言，三十年前，如果没有研究物理学的朋友坚持认为广义相对论中正质量猜想是正确的（这个猜想指出在引力场的作用下，质量还是正的），我也不可能和Richard
Schoen去证明它。当时在广义相对论里面遇到很大的困难，因为广义相对论是非线性的理论，非线性的理论证明遇到很大的困难。当时物理学家提出正质量猜想的时候，我们觉得很困难。因为从纯几何的观念来看不太可能是对的。可是物理学家认为是对的，所以我们才坚持新的技术做下去。最后我们证明了还是对的。证明的方法是完全数学的方法，几何的方法。可是我们从几何的方法看不出来，它为什么会对。而从物理学家的观点来讲，晓得这是对的，所以我们有信心去把这样的问题解决。所以我们看得出来物理学家有他的洞察力，是我们数学家不一定有的。可是物理学家当时没有能力将事情解决，用的还是我们几何的方法。
二十世纪的理论物理的支柱除了广义相对论外，还有量子力学，量子力学的数学基础（有重要贡献的科学家有Weyl，von
Neumann,Wigner等）还有许多问题有待研究。
在二十世纪上半叶，除了线性算子理论在量子力学和几何学中有重要的应用外，非线性方程与物理和几何现象来得更为密切，因此应用更为深入。因为几何研究的对象是波动的，是一个球面，所以是由非线性的方程来描述的。这几十年来我们发展了一个叫几何分析的概念，就是将几何学、方程学、物理学融合在一起的一个学科。因此，可以说几何引发了现代数学的发展。爱因斯坦将几何的重要部分定义为“实用几何”：“（实用）几何是由于了解实际物体的需要而产生的。”我讲这句话是因为中国有很多数学家也在做几何分析，可是不了解我们为什么要做几何分析，这主要是由于要了解几何实体物体而需要产生的。
几何学可能是数学中最为贴近基础物理的一个古老分支。它以多种的形式为物理世界提供语言和直觉。让我们关注当代几何的主要问题——空间（时间）中的几何结构。
在研究几何学里面，有几个最重要的方程，第一个方程就是刚才讲过的爱因斯坦方程，无论是洛伦兹几何还是黎曼几何，都可以定义为爱因斯坦方程。这对几何学未来的发展有重要的影响。
1915年，在爱因斯坦发表广义相对论后，Cartan和Weyl等数学家都受到启发，对时空的观念作出了一些贡献。这些理论是现代规范场论的基础，在这里杨振宁教授提出了他的划时代的方程，解决了基本粒子的相互作用力。
值得注意的是，1954年杨振宁和米尔斯写下杨-米尔斯方程时，数学家都不关注，也没有发现这个方程就是曾研究过的向量丛的曲率方程。Singer和Simons向杨振宁提到了两者的关联，因此也促进了数学和物理学的结合。
你可能会问爱因斯坦方程又复杂又难明，研究的对象又是遥远的天体问题，对我们有什么好处。最近我有作天文的朋友告诉我，这十年来最重要的一个发明叫Global
Positioning System全球定位仪的制作，除了光学和原子钟的突破外，还用了深入的数学计算和Schwarzchild对爱因斯坦场方程的解。当然是GPS卫星定位，只要定位相差15米，可是他们发觉要定义到英米，差不多要有很正确的数据。因为地球是一个深球，从空中传播光过来的时候，光线会受到地球的变动调整，你要得到很准确的数据就要用到广义相对论。可以讲这是现代的一个问题，虽然表面上无关，可是它往往在不同的场合表现出它的重要性。所以我们要深入又要旁通各支各门的学科，不能轻视看来无用的学问。
弦理论：爱因斯坦梦想或能实现 生存时空将有新的突破
在现代几何里面，25年来有一个很重要的贡献，叫超对称性，它是从现代物理产生的，叫作弦理论。在这个理论里面，通过超引力的想法产生出来很多几何的结构。几何的结构是很奇妙的。如果没有弦理论学家的工作，那么现代数学很多方面的发展将会需要很长的时间。因为从他们的洞察力帮助解决了很多古典的问题。而如果没有数学家的贡献，弦理论学家可能早就对他们理论的兼容性失去信心。弦理论可以从数学里面得到相当多的验证。从这里可以看到数学和物理学是相辅相成的。
到目前为止，人们仍然在寻找一个能够结合量子理论和广义相对论的几何学，探索之路是很漫长的，因为这是一个伟大的、人类梦寐以求的事情。整个世纪以来，尤其是爱因斯坦在他晚年的30多年，惟一的希望就是能够看到广义相对论和量子理论能够融合。探讨的过程很漫长，也很困难，我们同时也会遇到几何上的有趣问题，但是我们希望通过了解它们的结构，能够给我们带来对生存时空的新领悟。
所以数学和物理学是互补的，互相能够帮助对方。
地震测量和Fourier理论
大家关心的地震波是在地下传送的，也是个波动方程，而且是在二元方程里面。海浪在大洋里面的运动也是由这种方程来决定的。我们对它们的了解远远不够。我想很多听众第一个反应就是讲，我们对地震的预测，是跟方程的研究有很密切的关系。我们对这个方程还不能完全了解，所以现在还有很多的问题不能解决。
在十八世纪末，法国人傅立叶提出任何一个波都可以分解为基本波之和，基本波是由物质的基本频率引起的波动。正如在音乐演奏时，弦管会出现不同的调一样。在公元前六世纪，毕达哥拉斯已经注意这个基本现象。
他发觉音乐的基本波只需确定琴弦的长度、密度和绷紧的程度。地球的本征振动也是取决于地质的密度和内部的弹性及模量。地质里面的结构弹出来的基本波影响到整个地震波的传导、变动。所以基本波反过来用来猜测地球里面的地质密度，地球里面种种密度的内容。这是个很重要的问题，当然还没有全部解决。
傅立叶理论一开始并未被接受，有很多人不相信他提出来的假设。最后到了19世纪才证明他的理论是正确的。但是傅立叶理论现在应用的范围很广，包括数学、工程学等基础物理。几乎凡是有波动的问题都跟傅立叶理论有关。假如没有他的理论，我们不可能了解电磁波、地震波。同时三十多年前发展出来的快速Fourier变换更是电脑软体计算的主要工具，互联网能够迅速传递消息需要依靠这种快速算法。
刚才讲到地震产生的地震波，就可以用Fourier理论来分析它的强度及地震发生的地点。
比如说地震波分为三种不同的波，一个叫纵波，一个是横波，一个叫面波。纵波来得最快，横波是第二快。纵波跟横波的时间差乘以百公里可以计算地震发生的地点。从三个不同点观测就可以确定地震发生的地点。这是比较简单的计算方法。刚才讲到纵波和横波有不同的强度，强度可以用Fourier分析方法来计算。面波在地面上推进，毁灭性最大。纵波的毁灭性较小。
嘉宾对话
（本次对话嘉宾首次采取邮件报名、面试挑选方式，由十多名应征中产生两名幸运者。）
我做学问爱从交谈中获得灵感
姚臻（华东师范大学理工学院数学系大二学生）：在常人眼里，数学家通常是手拿一只笔，关在黑暗的屋子里解题。所以，我们很想知道，作为数学工作者，您的作息时间是怎么样的？
丘：我本人的作息时间跟很多数学家不一样，我有时候喜欢看什么东西就看什么。所以不能用我的作息时间来作为对主要的数学家的看法。一般来讲我早上跟学生谈，谈完以后再看一些书，再听一些课，上上课，晚上想一些问题。我跟很多朋友、跟学生讨论数学，自己从里面得到很多想法。有时也因此能够再问一些问题。比如说跟朋友，其他地方的朋友多交流。我跟其他的数学家做学问方式不一样。
数学的成功来自失败和走弯路
秦历宽（复旦附中高三学生，已保送北京大学数学科学院）：的确，每一个数学家研究数学的方法不一样，但是在我看来，数学是一门非常艰涩枯燥的学科。是什么吸引您献身数学领域，又是什么能使您那么年轻就取得那么大的成就？
丘：数学是不是困难，要看每一个人的想法。如同下棋，你给人家吃掉一个“军”，一个“兵”都觉得很辛苦，但最后是你能不能赢的问题。所以经历很困难的阶段，最后是你要解决问题。我的朋友海瑞先生是一个很喜欢玩的数学家。他喜欢去滑水、去爬山，喜欢去骑马。可是我跟他在一起，常常想问题想得很深刻。我们尝试去做一个问题，往往做了100次，总有99次的失败，有一次成功我们就觉得很高兴。往往成功就是因为经过了失败，所以才会觉得很有意思。
我觉得，一下子就得到的结果往往是比较浮浅，同时也没有意义。但是有时候我们一下子得到一个结论，因为我们对这个问题想了很久了。一个很小的问题我也会想很久，同时也经过了痛苦的经验，才把这个问题解决。当这个问题全部解决的时候，看起来很简单了，但是我们往往走了很长一段的冤枉路。又是因为这个冤枉路才会觉得结果有意思。我这个人不是天才，我一篇文章改了几十次才会觉得不错。
对我来讲在过程里面最重要的是了解数学题目整个过程，有经过困难，有经过不同的冤枉路才会成功，才会珍惜得出来的结果。我为什么对数学有兴趣，我一开始就是觉得用一个理论的方法能够了解到实际的问题。爱因斯坦讲，你用一个推理的方法能给自己一个很大的信心。可是信心是慢慢、一步一步建立起来的。我有个年赚十多亿美金的朋友，说要花25年来做数学，就是有兴趣。
秦：看来数学有着非常的美，吸引着很多数学工作者去研究。但是对于很多普通人而言，如何欣赏到数学之美呢？
丘：每个人欣赏的美是不一样的，到处都可以看到美的地方。你要想办法找美的地方。你要自己真的想办法去找，到处找。我记得我十一二岁的时候，我的父亲让我看《红楼梦》，我看来看去没有什么好，第二次再去看就觉得有意思。后来越看越有意思。
数学应用到社会科学还需要时间
秦：您提到数学与自然、物理、化学，还有金融学、经济都有紧密的联系。那么是不是金融学、经济学是因为数学的成果而得到了更大的发展？
丘：数学应用到经济学比较成熟，应用到社会科学不是很成熟。我想数学应用到科学的前景是绝对没有问题的。有很多是概率的问题，并不是解决某一个问题的。我想最后我们对社会科学和经济学会有相当大的估计能力。虽然是有些朋友能够做到，可是并不见得很大量的做到。比如我刚才讲的那个朋友，股票做得很成功的原因就是因为用到数学的方法去做股票。公司里面都是数学博士或者是物理学博士。他们推理的能力比较强。
学科的交叉性有助于研究成功
姚：丘教授现在社会上有很多人认为单纯地把数学分为纯数学、基础数学和应用数学，这样不是特别好。您对现在社会上把数学分为基础数学和应用数学有什么看法吗？
丘：我是觉得这是新的分解方法。往往以我个人的偏见来讲，我觉得分解是有些人不想念其他的科学，就分开了，说我只要念这个科学就行了。对于一名科学家来讲，我们看见一百年来，甚至五十年来应用数学主要的突破就是有纯数学家发展出来的理论。做一个普通的应用数学家是在做小事情。你想做一个有开展性的，有超前性的应用数学家，非对其他的学科有所了解不可。反过来讲，应用数学里产生很多有意义的问题，对纯数学是有帮助的，在我的看法，一个大学生，或者一个研究生，他们兼容并处的能力都很大，很多时候都是因为不想念，没有其他的原因。
读者提问 我愿意用数学来研究地震
张致远（小学五年级学生）：我想问您一个问题，面对现在发生的汶川大地震，如果您是一位指挥官的话，您会运用数学做些什么呢？
丘：首先关于这次四川大地震的起因，发生的时候我就注意到了。在美国我们都很悲痛，对这个惨状。我的秘书就算不是一个中国人，他也想替四川灾区做一些事情。除了能够捐助一些金钱以外，我很愿意花我的时间、花我的所能来研究这方面的事情。
数学能够解决这个问题，可是不能解决这么短促发生的问题。对于中国政府和全国老百姓，甚至国外的朋友对救灾的举动，我们都很感动，我很佩服胡总书记跟温总理的魄力和领导的才干。我自问，假设我在他们的位置，我没有能力做这个事。我想小弟弟，你问得很有意思。你大概以为数学家什么都能做，事实上我没有这个能力做。我很佩服中央领导同志的魄力。谢谢。
只要有热情和好奇什么都能学好
费嘉（复兴中学初二学生）：作为我们中学生来说，学好数学最有效的途径是什么？
丘：年轻的小孩子都有热情，对做学问也有好奇心，只要你有这两个素质，什么都可以学得好。做学问不是为了考试，而是为了一个人生的追求，一个热情的成长。就算我现在年纪比你大得多，我对很多不懂的事情还是想找寻他的答案，无论是数学还是不是数学的，只要抱着这个态度数学很快就可以学好，因为你有热情，会好奇，会去问，你不懂得的事情，就问老师，问朋友。对你想念的科目没有热情、没有好奇的话，那么是很困难的，所以我想你培养这两个素质。
数学即是“发明”也是“发现”
王苗艳（复旦大学数学与应用数学专业学生）：感谢丘院士给我们讲述数学和物理学交汇的神奇，一般来说我们都把物理学认为是自然对客观规律的一种发现，那么数学是发现还是发明呢？
丘：这是很有意思的问题。数学表面上看来是个参照，不是发现。可是我们想数学是从公理开始，所有数学都是能够证明的，否则它不是数学。它从某种意义上来讲，完全是一个不变的真理，因为从公理推导下去是完全不可有错的，跟物理学、跟生物学完全不一样。在第二个方面来看，可以讲，完全是个真理，即便给定的，我们也改变它。可是一个好的数学家在种种不同的真理里面，找到一个比较可爱的、有意思的真理。大部分的定理都是没有意义的。只有好的数学家才可以找到真正有意义的定理。所以数学家发现有意义的定理，最后都可以在大自然里面找到印证。古往今来很多的数学家，刚开始发现一些新的数学，以为这是一个新的发明，最后发现这个可以在大自然里面产生出来，所以可以讲是一个发明，但是其实最后是一个发现。我觉得我们应该用另外一个角度来看，我们只不过在大自然里面发现了人家看到的事情，还没有看到的定理。
培养学生对数学的兴趣很重要
读者（上海市教委学前信息教委网）：您提到数学的美感。我想请教您，您认为最小从什么时候可以对孩子进行数学美感的启蒙，您对您两个儿子是怎么做的？
丘：我本人对数学的兴趣是从平面几何开始的。我在中学的时候才开始对数学有大兴趣，因为我小时候念的书很枯燥，背公式常常会背错。
到了初中，第一次用线性方程来解答问题的时候，我觉得很有意思。可以不背而推导出来。这第一件事我觉得很有意思。
第二件事是念平面几何，由公理推到很多有趣的定理，我觉得很有意义。现在的学生不见得愿意去推理，怎么引发他们做这个事情，我想是很重要的事情。
哥德巴赫猜想很难尽快解决
沈文明（药厂员工）：陈景润在哥德巴赫猜想上很有成就，如果不引进新的数学方法的话，几乎看不到这个问题的曙光，请问您展望这个问题，多少时间可以解决，或者说大概会引进什么新的数学手段？
丘：做猜想并不难，可是要解决它要花很长的时间，这都是很困难的问题。所以数论里面有一套解决数学问题的方法，解决到了一定的地步以后就很难有再向前走的可能性。数论这一百年来有不同的方法，有的用几何的方法，有的用“解释”的方法。后者就这五六年来开始有比较大的进展。这种进展是不是足够来解决哥德巴赫猜想问题，我想并不见得可以解决得这么快。我不是这方面的专家，假如我真的有新的想法，我就可以把这个问题解决了。
丘成桐简介
丘成桐,中国科学院外籍院士，华裔数学家、美国哈佛大学终身教授，1982年，34岁的他获得了素有“数学诺贝尔奖”之称的菲尔兹奖。他成功地把微分几何与偏微分方程的技巧与理论结合在一起，解决了许多著名的猜想，在偏微分方程、微分几何、复几何、代数几何以及广义相对论等方面，都有诸多贡献。丘成桐是至今惟一一位荣获菲尔兹奖的华人数学家。
丘成桐教授十分关注中国数学事业的发展，并为此花费了大量时间和心血。自1979年应华罗庚教授邀请回国访问与讲学以来，他通过培养人才、成立研究所和捐款等形式，支持和促进我国的数学研究。
他还创办了多个数学研究机构。1994年，他在香港中文大学创建了数学所，并任所长；1996年，在中科院的支持下，在北京建立了晨兴数学中心并担任学术委员会主任；2002年，支持在浙江大学成立了浙大数学科学研究中心，并出任中心主任。迄今为止，丘成桐共为三大研究机构募集资金1.5亿元人民币，他个人累计捐款达300万美元。
来源：文汇报 2008-05-30
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