1. 必须经过证明的数学定理
数学含众多分支，除数学共有的公理系统外，各分支还各有自己的公理、研究和发展领域，但都包括若干经过严格证明的定理。
在数学中，判断一件事情的语句叫做“命题”，正确的语句叫做“真命题”，错误的语句叫做“假命题”。说明名词含义，使各个名词互不相混的语句叫做“定义”。有些真命题，它们的正确性是人们在长期的实践过程中总结出来的，并作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题称为“公理”，也叫“公设”。有些命题，它们的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做“定理”，推理的过程叫做“证明”。一般来说，在数学中，只有重要或有趣的经过证明的命题才叫定理。
如果因为其某些特例已在某种程度上证实某一语句为真，但该语句尚未被证明为真或为假，则称该语句为猜想，而非定理。一个定理包含条件和结论两部分，必须经过证明；证明是连接条件和结论的桥梁；证明定理是数学里一项最重要的任务与活动。
在学校学习过程中，数学一直是许多学生比较头痛的一门课程，尤其是课本中形形色色的定理及其证明都极其抽象，千变万化，难懂难做，令人发憷，如几何题的证法，各具巧思，争奇斗艳，无定法可循，只有依赖个人的经验、技巧和灵感，这些成了许多学生选学文不选学理的一个重要原因。人们经常会问，数学定理为什么都要经过证明呢？数学定理能不能象其他学科那样，从几个实验结果或者事实来宣布其正确而成为定理呢？如在物理学中，当年意大利科学家伽利略在比萨斜塔上做自由落体实验，经过多次重复实验，发现从塔顶落下的石子落地的时间总是相等，且其规律为：h = g*t²/2，其中h是塔高，g为地球重力加速度，t是时间，单位是米和秒，于是就有了自由落体的物理定律。作为实验科学的物理等自然科学，都承认可以重复作出的结果为其科学结论。对数学定理,这样能行吗？
数学当然也可以重复实验，如对偶数有6 = 3+3，8 = 3+5，10 = 5+5，12 = 5+7，14 = 7+7，16 = 5+11，18 = 7+11，……，这种把偶数拆分成两个素数之和的实验可以成功地做上千万次，利用计算机不难成功进行上亿次试验；如果按物理学家们的规矩，早就可以宣布哥德巴赫猜想“任何一个大于6的偶数，都可以表示成两个素数之和”为定理了，但数学不是物理，数学有自己这一学科的规矩，那就是一切数学定理都必须经过严格的证明才算数。所谓数学定理证明，就是从一组原始概念和公理出发，经过严格的推理证明才能给出一系列的定理，这是几千年来数学学科所遵循的学习和研究模式。当然，数学定理证明的真正含义并不完全在于检验核实命题，而在于理解命题，启迪思维，交流思想，培养、提高逻辑思维能力和推理能力，导致数学的新发现。这种模式是保护和促进数学健康成长的法规，不遵守它，数学科学就会出问题，就要遭殃！
事实上，作为严密科学的数学，它的定理不允许有一个反例。自然科学则不然，例如观察了大量的鸟类都会飞之后，可以得出“鸟类会飞”的结论，不怕鸵鸟不会飞这一反例的存在，自然科学追求的往往是绝大多数情况下成立的结论。
美国数学家波利亚（George Polya，1887-1985）说：“数学家与自然科学家在研究方法上是截然不同的；观察对自然科学家来说是可信的方法，但对数学家来说却并非如此。选择恰当的实例进行检验，这是生物学家肯定猜想规律的唯一方法，但是对于数学家来说，选择恰当的实例进行验证，从鼓励信心的角度来看是有用的，但这样还不能算是数学科学里证明了一个猜想。经验的归纳只能说明所得结果可能可靠，但并不能证明它一定可靠。”
2. 数学定理的证明
这里所说“数学定理证明”，就是对一个给定的命题，从一组原始概念和公理出发，经过有限步的严格推理，给出该命题正确性的论证，从而成为数学中的的定理。但我们不要忘记，这里所说的证明不只在不同的文化里有不同的含义，就连在不同的时代中也有不同的含义。显然，我们不会拥有而且极可能永远不会有一个这样的证明标准，它独立于时代、独立于所要证明的东西，独立于使用它的某个人或某个学派。
数学领域中的定理证明，一直被认为是一项需要智能才能完成的任务。证明定理时，不仅需要有根据假设进行演绎的能力，而且需要有某些特别的智慧和技巧。例如数学家在求证一个定理时，会熟练地运用他掌握的丰富专业知识，猜测应当先证明哪一个引理，精确判断出已有的哪些定理可用，并把主问题分解为若干问题，分别独立进行求证。
对一个数学定理给出证明，还可以帮助我们理解定理，看哪些条件的作用大、重要，哪些条件作用小、次要，是否可以把条件放宽一些；结论是不等式时，是否可以把上界变小一些，把下界放大一些，等等，进而发现改进和推广该定理的思路，或发现原证明方法够不够美、过长，能否设计出更简洁漂亮的证明等。
在数学教学中，定理证明有着极其重要的教育价值：通过证明，加深受教育者对相关数学知识的理解；通过证明，训练和培养受教育者逻辑的和非逻辑的思维能力及数学交流能力；通过证明，使受教育者寻找新旧知识之间的内在联系，使数学知识更加系统化；通过证明，使受教育者更牢固地掌握已学到的知识，并尽可能去发现新知识；通过证明，培养受教育者的理性精神，促进思想解放，提高与丰富受教育者的科学素质。
数学证明中的挫折和失败往往引出有价值的数学成果。在数学史上一个极重大的事件是对欧几里得第五公设（欧氏平行公理）的证明，到19世纪，几乎很多大数学家都曾尝试过，无奈大家都失败了，引起了大家对第五公设是否是真理的考虑。鉴于上述证明的受阻，数学家们（如高斯、罗巴切夫斯基等大数学家）萌生了否定欧氏第五公设建立新几何的念头，终于诞生了非欧几何。它的产生对20世纪相对论建立起了重要的作用。
由此可见，尽管对数学证明存在一些不同的认识和看法，但数学定理的严格证明是非常必要的，决非可有可无的。既然数学定理证明很困难、很重要，能否用机器替人进行这一工作呢？事实上，在计算机出现之前，就有一些很出色数学家提出了这一问题，并在20世纪后半期利用计算机取得了成功。
下面，我们给出部分学者对数学证明的一些不同看法，供参考。
美国数学家怀特（R.Wilder）说：“我们不要忘记，所谓证明不只在不同的文化有不同的含义，就连在不同的时代也有不同的含义。”“很明显，我们不会拥有而且极可能永远不会有一个这样的证明标准：它独立于时代，独立于所要证明的东西，并且独立于使用它的个人或某个思想学派。”
C.Hanna说：“证明是一种透明的辩论，其中用到的论据、推理过程……都清楚地展示给读者，任由人们公开批评，不必向权威低头。”
法国布尔巴基（Bourbaki）数学学派认为：“单是验证了一个数学证明的逐步逻辑推导，而没有试图洞察获得这一连串推导的背后的意念，并不算理解了那个数学证明。”
更有甚者，英国数学家哈代(G.H.Hardy)说：“严格说起来根本没有所谓数学证明……，归根到底我们只是指出一些要点，……把证明称之为废话，它是为打动某些人而编造的一堆华丽辞藻，是讲演时用来演示的图片，是激发小学生想像力的工具。”
随着数学定理计算机证明的出现，对数学定理证明有了更多的不同的看法和认知。
国际数学教育委员会(ICMI)在《计算机对数学和数学教学的影响》报告中指出：“借助于计算机的证明不应该比人工证明有更多的怀疑……，我们不能认为计算机将增加错误证明的数目，恰恰相反，对计算机证明的批评，例如四色问题的证明，主要集中在它仅依靠蛮力和缺乏思考的洞察力。……计算机证明会给人们带来一些新启示，会激励人们去寻找更好的、更短的、更富有说服力的证明，会鼓励数学家去更准确地把握形式化的想法。”
由于计算机的介入，新一代的数学家已经开始在计算机上实验自己的各种思想，甚至他们宣布自己是实验数学家，着手建立数学实验室，创办《实验数学》杂志。同时他们对数学提出了一些新的看法：
1.对数学追求的是理解，而不是证明；
2.重视发现与创造，数学的本质在于思想的充分自由与发挥人的创造能力；
3.追求对解决问题的数学精神，利用数学更好地解决、处理复杂的自然现象。