关于作者
一个毕业于北京大学数学力学系，在中国科学院计算所、计算中心和网络中心工作过，在澳大利亚科工组织DMS、香港浸会学院数学系和中国21世纪议程管理中心等处工作过，多次获国家和中科院科技奖并享受政府特殊津贴的退休老头。现在在【中国科普博览】网“科学新语林”栏目里开设一个《数学与计算机》的个人专栏，愿和爱好数学与计算机的各界网友和青少年朋友，谈谈对数学与计算机的看法、想法。
计算机证明（4）
张建中
2013年05月22日
7. 费马大定理的计算机证明及其启示
1994年10月，美国普林斯顿大学数学教授安德鲁 怀尔斯，证明了费马大定理（Fermat's Last Theorem）。他的论文发表在1995年5月的《数学年刊》上。
费马大定理看起来很简单，容易理解，但要证明它却难住了300多年来一代代杰出的数学家。
起初，数学家想重新找到费马没有写出来的那个“美妙证法”，但是谁也没有成功。著名数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x3+y3=z3和x4+y4=z4不可能有正整数解。
因为任何一个大于2的整数，如果不是4的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数。因此，只要能证明n＝4以及n是任一奇素数时，方程都没有正整数解，费马大定理就完全证明了。n＝4的情形已经证明过，所以，问题就集中在证明n等于奇素数的情形了。
在欧拉证明了 n＝ 3， n＝ 4以后，1823年和1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了 n＝ 5的情形，1839年拉梅证明了 n＝ 7的情形。就这样，一个一个奇素数证下去的长征便开始了。
其中，德国数学家库默尔作出了重要贡献。他用近世代数的方法，引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念，指出费马大定理只可能在n等于某些叫非正则素数值时，才有可能不正确，所以只需对这些数进行研究。这样的数，在100以内，只有37、59、67三个。他还具体证明了当 n＝ 37、59、67时，方程Xn＋Yn＝Zn是不可能有正整数解的。这就把费马大定理一下推进到n在100以内都是成立的。库默尔“成批地”证明了定理的成立，人们视之为一次重大突破。1857年，他获得巴黎科学院的金质奖章。
这一“长征”式的证法，虽然不断地刷新着记录，如 1992年更进到n＝1000000，但这不等于定理被证明。看来，需要另辟蹊径。
经过前人的努力，证明费马大定理取得了许多成果，但离定理的证明无疑还有遥远的距离。怎么办？看来必须要用一种新的方法，有的数学家用起了传统的办法——转化问题。
人们把丢番图方程的解与代数曲线上的某种点联系起来，进行代数几何问题间的转化，而费马问题不过是丢番图方程的一个特例。在黎曼工作基础上，1922年，英国数学家莫德尔提出一个重要的猜想：“设F（x，y）是两个变数x、y的有理系数多项式，那么当曲线F（x，y）= 0的亏格大于1时，方程F（x，y）＝0至多只有有限组有理数”。1983年，德国29岁的数学家法尔廷斯运用苏联沙法拉维奇在代数几何上的一系列结果证明了莫德尔猜想。这是费马大定理证明中的又一次重大突破。法尔廷斯获得了1986年的菲尔兹奖。
怀尔斯仍采用代数几何的方法去攀登，他把别人的成果奇妙地联系起来，并且吸取了走过这条道路攻克者的经验教训，注意到一条崭新迂回的路径：如果谷山——志村猜想成立，那么费马大定理一定成立。这是1988年德国数学家费雷在研究日本数学家谷山——志村于1955年关于椭圆函数的一个猜想时发现的。
怀尔斯出生于英国牛津一个神学家庭，从小对费马猜想十分好奇、感兴趣，这条美妙的猜想导致他进入了数学的殿堂。大学毕业以后，他开始了幼年的幻想，决心去圆童年的梦。他极其秘密地进行费马猜想的研究，守口如瓶，不透半点风声。
穷七年的锲而不舍，直到1993年6月23日。这天，英国剑桥大学牛顿数学研究所的大厅里正在进行例行的学术报告会。报告人怀尔斯将他的研究成果作了长达两个半小时的发言。10点30分，在他结束报告时平静地宣布：“因此，我证明了费马大定理”。这句话像一声惊雷，把许多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大厅时鸦雀无声。半分钟后，雷鸣般的掌声似乎要掀翻大厅的屋顶。英国学者顾不得他们优雅的绅士风度，忘情地欢腾着。
消息很快轰动了全世界。各种大众传媒纷纷报道，并称之为“世纪性的成就”。人们认为，怀尔斯最终证明了费马大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一。可不久，传媒又迅速地报出了一个“爆炸性”新闻：怀尔斯的长达200页的论文送交审查时，却被发现证明有漏洞。
怀尔斯在挫折面前没有止步，他用一年多时间修改论文，补正漏洞。这时他已是“为伊消得人憔悴”，但他“衣带渐宽终不悔”。1994年9月，他重新写出一篇108页的论文，寄往美国。论文顺利通过审查，美国的《数学年刊》杂志于1995年5月发表了他的这一篇论文。怀尔斯因此获得了1995～1996年度的沃尔夫数学奖。
经过 300多年的不断奋战，数学家们世代的努力，围绕费马大定理作出了许多重大的发现，并促进了一些数学分支的发展，尤其是代数数论的进展。现代代数数论中的核心概念“理想数”，正是为了解决费马大定理而提出的。难怪大数学家希尔伯特称赞费马大定理是“一只会下金蛋的母鸡”。
安德鲁 怀尔斯出生于英国剑桥，1963年他10岁。有一天他从学校漫步回家时，走进了路上的一家图书馆，被埃里克 坦普尔 贝尔写的《大问题》一书吸引住了。这是怀尔斯第一次接触到费马猜想，他心中产生了征服这个数学难题的强烈愿望。
在以后的岁月中，他一直在为实现这个目的做准备。他修完了数学学士和博士学业，成为数学教授，加入职业数学家的行列。他广泛吸收和潜心研究各种新的数学理论和方法，并综合应用它们，克服一个又一个的挫折和困难，并最终战胜了300多年来的挑战，把费马大定理的证明划上了圆满的句号，并由此推动了有关数学分支的发展。
从上面安德鲁 怀尔斯证明费马大定理的简短叙述中，可以得到以下几点启示：
1、优秀的科普书籍对人民群众、特别是青少年有着巨大的影响。如果安德鲁 怀尔斯没有看到有关的科学著作，如果这些科学著作没有以生动形象的手法通俗地介绍科学问题，则很难有安德鲁 怀尔斯的成功。
2、要实现自己的理想，必须要脚踏实地地去学习，去奋斗。解决困扰世人几百年的数学难题，没有扎实的数学基础，不了解所研究问题的来龙去脉，不掌握几百年来人们对它研究取得的成功经验和失败教训，不融汇贯通地应用各种数学理论和方法，是不可能取得成功的。安德鲁 怀尔斯为实现自己10岁时的梦想，学习、奋斗了30多年，才最终得到成功。
3、研究和解决一些数学难题，会推动某些数学分支、甚至整个数学学科的发展。
1994年10月，美国普林斯顿大学数学教授安德鲁 怀尔斯，证明了费马大定理（Fermat's Last Theorem）。他的论文发表在1995年5月的《数学年刊》上。
英国数学家安德鲁 怀尔斯（Andrew John Wiles）
费马大定理源自法国人皮埃尔 德 费马，是法国地方政府系统中的文职官员，又是业余数学爱好者。从职业上说，他是业余数学家；而从数学成就上说，他足以跻身于伟大专业数学家之列。
法国业余大数学家费马（1601-1665）
费马大定理，或称费马猜想（在未证明之前，通常称之为猜想），得从直角三角形的勾股定理说起。学过平面几何和三角的人都知道，直角三角形两直角边X、Y的平方之和等于其斜边Z的平方，用代数式可表示为X2＋Y2＝Z2。勾股定理中的X、Y和Z有整数解，如32＋42＝52，并可证明这种X、Y和Z的组合有无限多个。但是，如果把上述公式中的指数2改为3，或更一般地，改为大于2的整数n，即Xn＋Yn＝Zn（ n>2 )，则不存在整数解X、Y和Z。这就是费马大定理。1637年前后，费马在他保存的《算术》一书的页边处写道：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；总的来说，不可能将一个高于两次的幂写成两个同样次幂的和”。他又写了一个附加评注：“我有一个对这命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。”费马大定理看起来很简单，容易理解，但要证明它却难住了300多年来一代代杰出的数学家。
起初，数学家想重新找到费马没有写出来的那个“美妙证法”，但是谁也没有成功。著名数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x3+y3=z3和x4+y4=z4不可能有正整数解。
因为任何一个大于2的整数，如果不是4的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数。因此，只要能证明n＝4以及n是任一奇素数时，方程都没有正整数解，费马大定理就完全证明了。n＝4的情形已经证明过，所以，问题就集中在证明n等于奇素数的情形了。
在欧拉证明了 n＝ 3， n＝ 4以后，1823年和1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了 n＝ 5的情形，1839年拉梅证明了 n＝ 7的情形。就这样，一个一个奇素数证下去的长征便开始了。
其中，德国数学家库默尔作出了重要贡献。他用近世代数的方法，引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念，指出费马大定理只可能在n等于某些叫非正则素数值时，才有可能不正确，所以只需对这些数进行研究。这样的数，在100以内，只有37、59、67三个。他还具体证明了当 n＝ 37、59、67时，方程Xn＋Yn＝Zn是不可能有正整数解的。这就把费马大定理一下推进到n在100以内都是成立的。库默尔“成批地”证明了定理的成立，人们视之为一次重大突破。1857年，他获得巴黎科学院的金质奖章。
这一“长征”式的证法，虽然不断地刷新着记录，如 1992年更进到n＝1000000，但这不等于定理被证明。看来，需要另辟蹊径。
经过前人的努力，证明费马大定理取得了许多成果，但离定理的证明无疑还有遥远的距离。怎么办？看来必须要用一种新的方法，有的数学家用起了传统的办法——转化问题。
人们把丢番图方程的解与代数曲线上的某种点联系起来，进行代数几何问题间的转化，而费马问题不过是丢番图方程的一个特例。在黎曼工作基础上，1922年，英国数学家莫德尔提出一个重要的猜想：“设F（x，y）是两个变数x、y的有理系数多项式，那么当曲线F（x，y）= 0的亏格大于1时，方程F（x，y）＝0至多只有有限组有理数”。1983年，德国29岁的数学家法尔廷斯运用苏联沙法拉维奇在代数几何上的一系列结果证明了莫德尔猜想。这是费马大定理证明中的又一次重大突破。法尔廷斯获得了1986年的菲尔兹奖。
怀尔斯仍采用代数几何的方法去攀登，他把别人的成果奇妙地联系起来，并且吸取了走过这条道路攻克者的经验教训，注意到一条崭新迂回的路径：如果谷山——志村猜想成立，那么费马大定理一定成立。这是1988年德国数学家费雷在研究日本数学家谷山——志村于1955年关于椭圆函数的一个猜想时发现的。
怀尔斯出生于英国牛津一个神学家庭，从小对费马猜想十分好奇、感兴趣，这条美妙的猜想导致他进入了数学的殿堂。大学毕业以后，他开始了幼年的幻想，决心去圆童年的梦。他极其秘密地进行费马猜想的研究，守口如瓶，不透半点风声。
穷七年的锲而不舍，直到1993年6月23日。这天，英国剑桥大学牛顿数学研究所的大厅里正在进行例行的学术报告会。报告人怀尔斯将他的研究成果作了长达两个半小时的发言。10点30分，在他结束报告时平静地宣布：“因此，我证明了费马大定理”。这句话像一声惊雷，把许多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大厅时鸦雀无声。半分钟后，雷鸣般的掌声似乎要掀翻大厅的屋顶。英国学者顾不得他们优雅的绅士风度，忘情地欢腾着。
消息很快轰动了全世界。各种大众传媒纷纷报道，并称之为“世纪性的成就”。人们认为，怀尔斯最终证明了费马大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一。可不久，传媒又迅速地报出了一个“爆炸性”新闻：怀尔斯的长达200页的论文送交审查时，却被发现证明有漏洞。
怀尔斯在挫折面前没有止步，他用一年多时间修改论文，补正漏洞。这时他已是“为伊消得人憔悴”，但他“衣带渐宽终不悔”。1994年9月，他重新写出一篇108页的论文，寄往美国。论文顺利通过审查，美国的《数学年刊》杂志于1995年5月发表了他的这一篇论文。怀尔斯因此获得了1995～1996年度的沃尔夫数学奖。
经过 300多年的不断奋战，数学家们世代的努力，围绕费马大定理作出了许多重大的发现，并促进了一些数学分支的发展，尤其是代数数论的进展。现代代数数论中的核心概念“理想数”，正是为了解决费马大定理而提出的。难怪大数学家希尔伯特称赞费马大定理是“一只会下金蛋的母鸡”。
安德鲁 怀尔斯出生于英国剑桥，1963年他10岁。有一天他从学校漫步回家时，走进了路上的一家图书馆，被埃里克 坦普尔 贝尔写的《大问题》一书吸引住了。这是怀尔斯第一次接触到费马猜想，他心中产生了征服这个数学难题的强烈愿望。
在以后的岁月中，他一直在为实现这个目的做准备。他修完了数学学士和博士学业，成为数学教授，加入职业数学家的行列。他广泛吸收和潜心研究各种新的数学理论和方法，并综合应用它们，克服一个又一个的挫折和困难，并最终战胜了300多年来的挑战，把费马大定理的证明划上了圆满的句号，并由此推动了有关数学分支的发展。
从上面安德鲁 怀尔斯证明费马大定理的简短叙述中，可以得到以下几点启示：
1、优秀的科普书籍对人民群众、特别是青少年有着巨大的影响。如果安德鲁 怀尔斯没有看到有关的科学著作，如果这些科学著作没有以生动形象的手法通俗地介绍科学问题，则很难有安德鲁 怀尔斯的成功。
2、要实现自己的理想，必须要脚踏实地地去学习，去奋斗。解决困扰世人几百年的数学难题，没有扎实的数学基础，不了解所研究问题的来龙去脉，不掌握几百年来人们对它研究取得的成功经验和失败教训，不融汇贯通地应用各种数学理论和方法，是不可能取得成功的。安德鲁 怀尔斯为实现自己10岁时的梦想，学习、奋斗了30多年，才最终得到成功。
3、研究和解决一些数学难题，会推动某些数学分支、甚至整个数学学科的发展。