数学技术之模型篇（2）

4. 数学建模概述

随着科学技术的迅速发展，数学己经渗透到从自然科学、工程技术、工农业生产，到社会科学、经济活动等社会生活的各个领域。一般说来，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学技术及为此建立的各种各样的数学模型，这构成数学应用中的一个关键环节。
数学模型是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际问题本质属性的抽象而又简洁的刻划，或用于解释某些客观现象，或用于预测未来的发展规律，或用于控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识和相关的经验及学科知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型及其分析、对比、验证和应用等的过全程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。
数学模型是对各种实际问题严密化、精确化、科学化的途径，是发现问题、解决问题和探索真理的工具。数学模型的应用，因社会生活的各个方面正在日益数量化，人们对各种问题的要求愈来愈精确而被广泛采用；计算机的迅速发展和普及，为精确化提供了条件；很多无法实验或费用很高的实验问题，用数学模型进行研究是一个有效的途径；因而使数学模型在各个领域的应用会愈来愈广泛，愈来愈深入，使人们过去广泛认为的理论数学，经过数学模型变成了使用广泛并为大家普遍认可的数学技术。
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并求解实际问题的一种强有力的数学手段。
数学建模，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题的应用过程。数学建模和其它数学分支相比，具有难度大、涉及面广、形式灵活、要求较高等特点。但如何建立和解决丰富多彩、极其复杂的实际问题的数学模型及其建模，很难给出一个普遍的原则。
在建模过程中，不得不把那些对问题影响甚微的因素忽略掉，不然所得的模型因数学结构太复杂、变量过多而失去数学上的可解性；但也不能把比较重要的相关因素忽略掉，否则所得的模型因为不能足够反映实际情况而失去可靠性。可解性和可靠性同时具佳的数学模型是罕见的，一般我们总是在可解性的前提下，力争满意度较高的、可靠性较强的数学模型。
数学建模的过程，也是培养和提高我们工作能力的过程。通过数学建模，可以提高我们对问题的洞察能力，数学语言的解释能力，综合应用的分析能力和各种当代科技最新成果的使用能力。
同一个实际问题，可以建立多个不同的数学模型。事实上，被我们研究的实际问题好比是一个“黑匣子”，要用到各种方法、从各种不同的角度去观察、探讨它的秘密。有时，建模就像摸着石头过河一样，边干边学、边验证边修改，边改进边完善。数学模型的建立需要有创造性、想象力甚至一定的艺术修养，必须接受实践的检验，有时需要多次反复修正，才能得到一个可用的、达到精度要求的模型。

5. 建模的要求和原则

建模的基本要求有：
1、真实完整。
1）具真实性，即模型能真实的、系统的、完整的反映所研究的客观事物；
2）具代表性，即在一定领域内可代表其中的很大的一类问题；
3）具完整性，即模型必须完整反映所研究的客观事物，与实际情况基本吻合；
4）具外推性，即能得到原型事物向前发展时所表现的一些新情况。
2、简明实用。
在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，所用数据易于采集和汇总。
3、适应变化。
随着有关条件的变化和人们认识的发展，模型应能通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。
建模的基本原则有：
1、简化性原则？？ 现实世界的原型都是多因素、多变量、多层次和非线性的比较复杂的系统，建模中既要抓住原型的主要矛盾，又能对原型进行一定的简化。数学模型应比原型简化，自身应是“最简单”的。
2、可推导原则？？ 通过数学模型的研究和计算可以推导出一些确定的结果。如果建立的数学模型在数学上是不可推导的或不可计算的，得不到确定的可以应用于原型的结果，这个数学模型是无意义的。
3、反映性原则？？ 数学模型实际上是人对现实世界的一种反映形式，因此数学模型和现实世界的原型就应有一定的“相似性”，抓住与原型相似的数学表达式或数学理论是建立数学模型的关键性技巧。
4、渐进性原则？？ 稍微复杂的一些实际问题的建模通常不可能一次成功，往往要反复多次修改、完善，才能得到可用的模型。
5、方法的不统一性原则？？？ 对同一问题，因建模个人的特长和偏好等方面的差别，所采取的方法可以不同，使用近代数学方法建立的模型不一定就比采用初等数学方法建立的模型好，因为我们建模的目的是为了解决实际问题。
6、结果的不唯一性原则？？？ 数学建模的结果无所谓“对”与“错”，但却有“优”与“劣”的区别，因而并不唯一。评价一个模型优劣的唯一标准就是通过实践检验，是否有助于实际问题的解决。

建模可看成一门艺术。艺术在某种意义下是无法归纳出几条基本要求、几个基本原则或几种方法的。一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教，更需要亲身的实践。类似地，掌握建模这门艺术、培养想象力和洞察力，一要大量阅读、思考别人做过的模型，二要亲自动手，认真多做几个实际项目以积累知识和经验。

6. 三类数学建模方法

世界事物千变万化，其数学模型和建模方法自然也是丰富多彩、千变万化。这里只能挂一漏万，给出几个有一定代表性建模方法。
一、机理分析法
从基本物理定律以及系统的结构数据导出数学模型。
1. 比例分析法——建立变量之间函数关系，是建模中最基本最常用的方法；
2. 代数方法——求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法；
3. 逻辑方法——用数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策、对策等学科中得到广泛应用；
4. 常微分方程方法——解决两个变量之间的变化规律，建立“瞬时变化率”的表达式；
5. 偏微分方程方法——解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。
二、数据分析法
从海量观测数据中利用数据处理、统计分析方法建立数学模型，其中常用的方法有：
1. 回归分析法——用于对函数y = f（x₁, x₂,…,x_m）的一组观测值（x_i1, x_i2，…，x_im；y_i）（i=1，2，…，n>m），确定函数的表达式，又称曲线或曲面拟合法；
2. 数据分类法——对海量已分类数据或未分类数据，构造判别模型或聚类模型进行分类的问题；
3. 时序分析法——处理动态相关数据，又称过程统计方法。
三、模拟和其他方法
1. 计算机模拟——对所研究的对象构造随机模型，进行统计模拟实验，以求得研究对象所需的结果；
2. 因子试验法——在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构；
3. 人工现实法——基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。