数学技术之模型篇（3）

7. 数学建模的过程

数学建模要经过哪些步骤、怎样的过程，并没有一个确定不变的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的及如何使用等有关。在多数情况下，当一个实际问题提出之后，对其进行数学建模的一般过程可分如下几步并可用下面的实际问题建模示意图表示。

从上面的示意图中不难看出，计算机是数学建模中的一个重要工具，可以模拟出建模所需要的“理想状态”，为模型求解提供直观的背景。此外，还可以通过计算机编程，在计算机上调整模型参数，开展数学实验，使数学建模更加适用和丰富多彩。
下面，对其中的有些过程做进一步的说明：
问题调研？ 了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集建模必需的各种信息，如现象、各种关系和相关数据等。
模型准备？ 分析、掌握系统的各种信息，弄清楚问题的特征，用数学语言描述问题，由此初步确定用哪一类模型，做好建模的准备工作。
模型假设？ 根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，可以说是建模的关键一步。一般来说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解。不同的简化假设会得到不同的模型。做的假设不合理或过分简单，会导致模型失真或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设做得过细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，主次不分，可能很难甚至无法继续下一步的工作。做假设时要善于抓住主要因素，舍弃次要因素。写出假设时，语言要精炼，就像做数学习题时那样，写出已知条件。在假设的基础上，利用数学工具刻画变量间的数学关系。
模型建立？ 根据所作的假设，分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个常量和变量之间的等式及不等式的关系或其他数学结构，建立模型。这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学与相关学科方面的知识，以开阔思路。建模时还应注意，尽量采用简单的数学工具，以便能让更多的人了解和使用。
模型求解？ 可以采用解方程、划图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术，选用算法研制程序，对模型进行计算，以求得到可用的数值结果。这是建模中最困难、最重要的一步。
模型分析？ 对模型解答进行分析，对所得的结果进行数学验证和数据对比。有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时根据所得的结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制。不论哪一种情况，常常需要进行误差分析，模型对数据的稳定性和灵敏性分析等处理。
模型检验？ 把数学上分析的结果返回到实际问题，并用实际的现象、量测数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。检验模型的结果如果不符合或者部分不符合实际，问题常常出在模型假设上，应该修改、补充，重新建模。有些模型要经过数次反复修改、不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意为止。
模型应用？ 把所建模型用于实际问题，其方式、方法自然取决于问题的性质和建模的目的及其应用。如果模型与实际问题的吻合度较差，不能满足实际问题的要求，或修改假设，重新建模；或经论证认为建模不可行，停止建模，另选它法。

应当指出，并不是所有建模过程都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明，顺序也不是不可改变。建模时不应拘泥于形式上的按部就班，而应采取了灵活多变的方式方法，以求得到最佳的结果。

另外还需要说明的是，解数学问题往往会有一个惟一正确的答案，但数学建模可没有惟一正确的答案，因为数学建模只是利用数学工具解决实际问题的一种重要手段，对同一个实际问题可能由于考虑的因素不同，所使用的数学知识和方法不同，就会建立起若干个不同的模型，这就会有好几个近而不同的“答案”，因此模型无“对、错”之分，但却有“优、劣”之别。

8. 数学建模的意义

数学模型一般是实际事物的一种数学简化，常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式出现的，但它和真实的事物还是有着本质的不同。为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的数学语言来描述各种现象。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行的相应实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。
用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法及计算机上的数值计算去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。所以，可以这样直观地理解数学建模的意义：数学建模是让只知道研究数学而不管数学应用的理论数学家变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。
数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学理论转化到数学技术的主要途径，通过数学建模把数学理论发展成为数学技术。所以，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一。
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体，也包括抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容。
数学建模需要多种能力，其中重要的包括：1、数学思维的能力；2、分析问题本质的能力；3、资料检索和快速获取信息的能力；4、计算机上的编程能力和常用数学软件的应用能力等。数学建模带给我的是现况的指示，发散性思维，各种研究方法和手段。
进入21世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及巨型计算机的飞速发展和广泛应用，数学建模越来越受到人们的重视，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的实际意义。
（1）在一般工程技术领域，数学建模仍大有用武之地
在以声、光、热、力、电等物理学科为基础的诸如机械、电子、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，问题规模扩大、精度提高，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题，如大型水坝的应力计算，大型飞机研制、中长期天气预报等，迎刃而解；建立在数学模型、计算机模拟和大数据基础上的诸多高新技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。
(2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具
无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，也是许多高新技术的基础，而且从后台直接走到了技术的前台。多数高新技术产品、特别是军工产品的保密或禁运，多不在硬件，而是含有数学技术的软件支持系统。
（3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地
随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。对一些不存在作为支配关系的物理定律学科，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。展望未来，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。
（4）数学建模的过程，是培养和提高我们工作能力的过程，改善产品质量和提高产品精度的过程
通过数学建模，可以提高我们对问题的洞察能力，数学语言的解释能力，综合应用的分析能力和各种当代科技最新成果的使用能力；数学模型和客观现象相比，通过修改细节、改变参数，更便于解决进行实际试验时的困难，且容易操作，节约成本；通过模型参数的调整和变化，可进一步揭示客观对象本质，改善产品的质量和提高产品的精度。
随着科学技术的飞速发展，人们越来越认识到数学科学的重要性；数学思考方式具有根本的重要性，数学为组织和构造知识提供了方法，将它用于技术时能使科学家和工程师生产出系统的、能复制的、且可以传播的知识；数学科学对于经济竞争是必不可少的，是一种关键性的、普遍的、可实行的技术。