数学技术之模型篇（4）

9.数学建模简例

计算机上的数学建模，应用范围极广。有人说，世界是上帝按照数学模型构建的，所以才如此美丽、和谐与广受人爱。鬼才知道有没有上帝、世界是不是上帝构建的，但世界处处可用数学模型进行描述和研发，确实毫无疑问。下面介绍一些特别领域的数学建模简例，虽挂一漏万，也足见数学建模应用的广泛及建模方法的灵活，并能对建模的全过程及其分类有进一步的了解和认识。

一、社会科学中的幸福和爱情模型

众所周知，自然科学和社会科学是现有科学研究体系中的两大类，它们的研究对象和研究方法有着很大区别。首先，自然科学研究的是客观的物质世界，是没有思维、没有主观能动性的物质；而社会科学研究对象是人，人的思想和行为既受外部环境和社会的影响，同时又受内在主观能动性的作用。其次，自然科学中物质变化的决定因素往往比较简单，如物质间的引力主要是由质量和距离两大因素决定的；而社会科学中，影响人的行为和社会特征变化的决定性因素相当复杂，研究者很难把所有的因素以及它们之间的关系都考虑到研究中去，难免有挂一漏万的情况出现。最后，自然科学研究的物质世界变化多数是确定的，可以用确定性的数学模型来描述；而社会科学所涉及的变量大多是非确定性的，要用非确定性研究方法去解释，结论通常多以概率的形式给出。正是由于社会科学研究对象以人为中心，以及它的复杂性和不确定性，导致社会科学研究从本质上说比自然科学更困难，在科学性的把握上比自然科学更困难，很难进行定量研究。但随着数学技术和计算机的快速发展和广泛应用，在不少社会科学问题的研究中也应用到数学建模，以推进定量研究。
实际上，现在许多社会科学研究已经采用了更严谨、更规范的研究程序：在确定了要研究的题目以后，首先对以往的有关理论和研究进行回顾和描述，从而明确所研究问题的性质和规律，哪些问题和结论已经被前人证明过，哪些还没有被证明或需要重新进行证明；其次要在理论的指导下，在以往研究的基础上提出自己拟证明、研究的假设和框架：你要做什么、怎么去做；为了证明自己的假说，研究者还必须有实证数据，通过设计问卷，组织调查，取得所需的原始数据，也有些学者利用现有数据进行数据处理和分析；研究中还必须对数据的收集方式和质量进行评估，在利用频率表对抽样数据进行描述和统计分析时，还必须对总体的推断和显著性进行检验，以证明该数据所显示的结论是有意义的；再下来要做的工作是建立数学模型，进一步描述和解释变量之间的相互关系；最后，在模型分析的基础上得出结论，证明自己的假说成立，并做进一步的理论解释和定性分析。这些研究，因采用了实证数据、让事实来说话，并通过数学模型描述或证明所得的结论，因而使社会科学的研究和得到的结论更为充分、更加可信。
下面，以“人是否幸福”和“爱情向何方向发展”为例，说明社会科学中的数学建模及其过程。
千百年来，时代变迁，地域各异，但人类对幸福的向往和追求始终如一，变化并不很大。由于人们的世界观、人生观不同，经历不同，工作和生活环境不同，理想抱负不同，对幸福的认识和理解也就不尽相同。其实，幸福是一种感受，是一个很模糊的概念，是一个仁者见仁、智者见智的事儿。对幸福，每个人的心目中都有一个衡量尺度，实际生活中应该用一把什么样尺子来衡量幸福呢？有人说劳动最幸福，有人说健康最幸福，有人说平安最幸福，有人说悠闲最幸福，有人说家庭和睦最幸福，有人说有钱最幸福，但也有钱多的商人说：我现在很穷，除了钱，什么都没有了。还有人说，幸福不在于拥有财富，而在于获得成就时的喜悦以及产生创造力的激情，更有人说幸福是一种心情，和财富、年龄及环境无关。有人还说，幸福有三个境界或者也可说是三个指标：第一境界是没有痛苦；第二境界是平静，心如止水；第三境界是喜乐，能够有精神愉悦的感觉。有人总结说，良心无愧，身体无病，胸中无累，肩上无债，是最大的幸福。可见，对于幸福的理解因人而异，因时而异，也因地而异。
人人都在追求幸福，对幸福的理解又可以折射出一个人的精神境界、文明修养和道德情操。历史和现实都表明，一个没有正确的和高尚的幸福观的人，难以追求到真正的幸福，更体会不到真正的幸福；一个没有成人之美、助人为乐氛围的社会，是难以发展、无法进步的；立足岗位，恪尽职守，努力工作，奋发有为，是追求幸福的必由之路。但面对千姿百态的世界，什么是幸福？幸福有没有标准? 幸福犹如市场上商品一样也有真有假。真幸福让人留恋忘怀，假幸福却让人遗憾痛苦。幸福，那是一种时代的理解和知识的积累，是一个自我认识自我的镜子，是社会形态的缩影。幸福能用一个数学模型进行描述吗？
英国研究人员多年前提出“幸福”可以用一个数学模型来概括，即：

？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？ 幸福 ＝ P ＋ 5*E ＋ 3*H？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？ (1)

其中P代表个性，包括世界观、适应能力和应变能力；E代表生存，包括健康、财力和交友等，5为其加权系数；H代表更高层的需要，包括自尊心、期望、雄心和幽默感等，3为其加权系数；得分越高人越幸福。这个模型是研究人员访问了1000多人之后，把得到的数据进行处理后给出的。你能接受这个幸福数学模型吗？当然，套用这个幸福公式能否算出一个人是否幸福，恐怕有一定的模糊度, 会因人而异，也还需要时间进行考验，甚至幸福公式里三个变量P、E、H如何给分就是一个难解的问题。至于其中如何对得到这一模型的数据进行处理的方法，将在下面“回归模型和逐步回归计算”中给以简单介绍。
无独有偶，英国心理学家、数学家和人际关系专家还提出了一个终极恋爱数学模型，让男女推算自己和心仪的对象是否能让爱情开花并结出幸福之果。
这个由专家推导的爱情模型是：

？？？？？？？？？？？？？？？？ 爱情 = [(F+Ch+P)/2+ 3(C+I)/10]/[(5-SI)2+2]？？？？？？？？？？？？？？？？？ (2)

模型中，F代表自己对对方的好感，Ch代表对方的魅力，P代表体内分泌吸引异性的化学物质，C代表自己的信心，I代表亲密程度，SI代表自我形象。
恋情测试者可对每个指标分别评分，自我形象SI评分为1至5，其它评分为1至10。将所有评分代人方程式后，可得出一个总分。若总分介于8至10分之间，即代表测试者跟恋爱对象可发展出一段浪漫的热恋；6至7分代表两人感觉温馨；4至5分代表感情冷淡；低于4分则代表这段感情不会开花结果。
专家指出，只约会了几次初相识的男女测试有较高评分时，双方才会有发展一段恋情的机会。当然，测试结果是否可信，恋情如何发展下去，能否会开花结果，可能还是一个未知数。
对幸福模型（1）和爱情模型（2）做进一步分析，可得到如下几个结论：
1. 模型（1）是线性的，而模型（2）是非线性的，它们的数据处理方法差异甚大；
2. 模型（1）和（2）有点过于规矩，它们的加权系数皆为整数，且近乎相互独立的因子F、Ch、P和C、I有相同的权重，人为痕迹过重；
3. 模型（2）中，自我形象SI很重要，如其它都取高分10，SI取5、4、3时，得分分别为10.5、5.25和3.5，SI只有取最高分5、其他各项也多取高分时，才有发展一段浪漫恋情的机会。这样的话，据此模型SI取不成5的多数人，都谈不成恋爱，难道都会成为孤男寡女？对“问世间，情是何物，直教生死相许？”的爱情，千百年来是说不清、道不明，实难用一个简单的模型去说清楚的。
幸福模型（1）和爱情模型（2）取自互联网，真实性和可靠性可能并不很高，大家只应把它们视为建模一例，千万别认真地把自己装进去，特别是青年男女，别对号入座，把自己变成一个不敢谈恋爱的“孤男寡女”。

二、股市交易中的数学模型

股市波动是股市发展过程中的常态。对股市波动的解释，传统理论认为，股市是现实经济的晴雨表，很大程度上与宏观经济变化有关。但现在不少经济学家认为，股市经常的波动在很大程度上是与人的非理性因素有关，股市价格重挫并不一定表明实体经济一定衰退，更多的在于人们的感情作用。因为股市天生就是一个波动较大的市场，非理性的乐观会导致股市暴涨，而莫名其妙的悲观会造成股市暴跌。因为股市的投资者往往会依靠幻念、感情及运气行事，从而频繁出现股市波动。
现代发达的欧美股市，其股市交易规则、交易方式、交易程式、交易理念等方面都发生了很多根本性的变化。目前在欧美股市，根据数学模型制定的程式化交易方式极为流行。这种程式化交易占据美国股票市场超过70%的成交量，欧洲股票市场超过40%的成交量。
所谓程序化交易一般是指根据一定的交易数学模型生成买卖信号，并由计算机自动执行交易的过程，包括算法交易、量化交易、高频交易等多种交易形式。优点主要体现在顺势操作，赚取波段利润；指令简单、策略明确，排除人为贪婪；提高交易效率，丰富市场流动性等。现在看来，程式化交易至少有以下几个方面的特点。
一是把传统股市交易决策非理性的感情因素完全摒除掉，完全按照交易数学模型由已经设计好的计算机程序的理性逻辑推演来完成；
二是这种程式化交易不仅运算速度快，还能轻易地把更多可能影响股市波动的因素以大数据的形式纳入到计算模型中；
三是这种程式化交易能够以光速进行，完全可以超越人类的极限，他们的算法通过股票市场中大数据不断地自动搜索交易机会，在几毫秒内捕获交易利润，在操纵市场的同时还能逍遥法外。
从现代程式化交易的特点来看，任何新的市场信息都能成为改变交易价格、交易方式、交易策略的因素，而这些改变都可以在瞬间或人没有感觉到情况下完成。比如，人民币贬值这种信息，在程式化交易模型中理解为中国经济负面因素，而中国政府推出宽松货币政策又理解为市场正面因素。如此反复，全球股票市场岂能不波动？这就是当前全球股票市场波动的根本原因，也正是股票市场的波动为这些程式化交易创造的最好的获利条件。
自然有人会问，用计算机数学模型、进行程式化交易方式炒股，太复杂，只有机构或超大型投资客户才能用，散户无法掌握、使用和控制，有没有更简单的数学模型可用于散户炒股呢？据说有人利用斐波拉契数列作为炒股的数学模型，不仅躲过股市的几次大跌，还在股市爆涨时取得了较高的股市收益，得到了很好的股市回报。
下面，我们先来看看什么是斐波拉契数列，再看看怎么用斐波拉契数列数学模型进行炒股操作。
斐波拉契数列是一个非常美丽、和谐的数列。写出该数列为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、……直至无穷。这些数字从第三个开始，每一个数都等于前面两个数之和，同时前一个数字和后一个数字之比，无限接近于黄金分割数0.618。
将斐波拉契数列用于炒股投资法则，称其为炒股的“斐波拉契周期”。从重要的市场顶部或底部计算未来，按照中位数市盈率判断出股市是牛市还是熊市，标志出未来第3、第8、第13、第21、第34、第55及第89等等几个可能股市交易日的日期。这些日子可能意味着股市的重要转折点。
当遇到股市大跌的时候，在看好的股票池里选一支跌得最多的买入。基本上第3天以20%的仓位进入；如果之后股市还没涨，跌到第8天再追加3成进去，这时候的反弹概率有50%；到第13天还在跌，就全仓进去。基本上反弹的时候，不几天时间可以赚到15-20%的收益；股市涨的时候同样操作，涨3天的时候出一半，到第8天的时候再出一半。
当然，股市行情变化极其复杂，涨落难定，利用斐波拉契数列模型操作能否取得炒股成功真的很难说。一次成功，不等于次次成功；同样，一次失败，也不等于次次失败；但你一定要牢记“炒股有风险，投资需谨慎”。