“此山是我开，此树是我栽，要从此路过，留下买路财！”对路人来说，要想走某些捷径，往往可能意味着需要损失钱财。对于微观世界的电荷而言，除非是在真空中奔跑，其他情况下在介质中“行走”都是可能要付出一定“代价的”，这就是电荷的“买路财”——电阻。

人们其实很早就已经认识到，电荷在介质中运动是会受到阻碍的，但一直尚不明确如何描述介质对电荷的阻碍行为以及解释为何受到阻碍。1826年，德国的欧姆用他发明的仪器证明对于外形固定的导电介质，其两端电势差和通过的电流大小成正比，即呈欧姆定律关系：U=IR。现在的中学物理实验也有验证欧姆定律一项，然而这个实验存在因果倒置的错误，因为实验用的电压表就是根据欧姆定律原理来设计的，这就成了用欧姆定律来“验证”欧姆定律，得不出正确的结果才怪呢！事实上，在欧姆发表该定律的年代，并没有“电阻”的概念。幸运的是那时人们已经认识到电流会产生磁效应，并且德国科学家施威格成功利用该原理制造了电流计——电流使得磁针发生偏转，测量偏转的扭力就可以知道电流的大小。欧姆用电流扭力计很好地测量了电流的强度。至于恒定的电压输出则取决于稳定的电源，欧姆放弃了最初使用伏打电堆而采用具有稳定电动势的铋铜温差电偶作为电源。通过测量不同形状的同种材料导电介质在电路中的电流大小，就可以得出电流大小和材料的长度成反比而和材料的横截面积成正比，若定义电阻和材料的长度成正比而和横截面积成反比，就得出电流强度和电阻大小是成正比关系。由此可以知道，欧姆定律的实质是给出了电阻的定义，进一步若剔除材料的长度和横截面积的影响就可以得出电阻率的定义。正是如此，欧姆测量了不同金属材料在室温下的电导率（电阻率的倒数），证实它们的电导率在相同环境下只与材料有关。欧姆的实验使人们认识到材料的电阻可以通过其两端的电压和通过的电流大小来衡量，为纪念他的贡献，人们把电阻的单位称为欧姆。

不同材料的电阻率为何不同？电荷在材料中运动会受到什么样的阻碍呢？按照现代物理的观点，电阻主要有两大起源：一是在材料中运动的电荷会受到原子热振动的影响，从而改变其运动能量；二是电荷在运动过程会碰到材料中的杂质和缺陷而损失能量。按照电阻率从小到大，一般可以把材料分为导体、半导体和绝缘体。自然界导电性最好的材料是银，而导电性差的材料有玻璃、橡胶、陶瓷、塑料等。从微观角度来看，导体和绝缘体的差别在于其中电子的能量和动量分布不同。按照量子力学的观点，电子在独立原子中的能量分布不是连续的，而是一个个离散的能级。在固体材料内部的原子是按照一定空间规律排列的，原子和原子之间存在化学键形式的相互作用，而原子核外的电子也将因周边原子的“干扰”，这样原先的每个离散能级将会在其附近劈裂。固体中原子个数是10的23次方即阿伏伽德罗常数量级，这样电子的能级就会在附近劈裂成如此量级之多的一系列准连续的能级，从而形成了由原先的一个个离散能级展宽成一条条准连续的“能带”。电子在能带中的填充情况就决定了材料的导电能力：电子只允许有在能带上对应的能量，而对于带间的能量是被禁止的，电子能否被电场顺利驱动就取决于电子是否可以顺利跃迁到合适的能带上。我们首先要认识到材料中电子是在不断朝杂乱无章的方向运动的，导电的原因在于外界电场的驱动使得电子在电场方向上存在集体运动。对于导体，在能量填充最高的能带上有大量的电子占据，但又不是满占据，因此在外部电场驱动下，电子集体获得电场方向恒定动量（即相当于附加一个小能量）后仍然可以在该能带找到合适的占据态从而达到导电的目的，该能带称之为导带；对于绝缘体，电子填充的最高能带是满的（称之为价带），而再往上的能带则是空的，能带之间存在很大的能量宽度——“带隙”，电子要集体运动起来就必须克服这个能量间隙才能跃迁到上面的空带上，由于这个能量尺度很大，这就大大限制电子跃迁从而导电能力很差。至于半导体则介于导体和绝缘体之间，价带和导带之间的带隙比较小，能量较高的电子可以借助热激发等因素跃迁到导带上去，而在价带上留下一个电性相反的“空穴”，电子和空穴都可以在相应的能带中找到准连续能量的占据态，从而可以在外界电场驱动下顺利运动，但由于参与导电的电荷数目较少，所以电流和导体相比要小一些也即电阻率要大一些。这就是导电的微观解释。

前面说过，材料的电阻率和原子的热振动——材料的温度有关，也和材料内部的杂质和缺陷有关。这是因为电子在和附近原子或者杂质缺陷相互作用时会得到或者损失能量，这样就直接影响了它在能带中的占据态，从而对材料的导电行为有所影响。具体来说，金属的电阻率是随着温度的下降而下降的，半导体的电阻率是随着温度的下降而逐步上升的，绝缘体的电阻率则是随着温度的下降迅速增加甚至发散到无穷大，至于杂质和缺陷造成的电阻率则一直以一个附加常数项的形式存在。我们可以用一个经典的图像来理解——诸葛亮的九宫八卦阵。阵中的士兵等效于电子，阵型就是材料中原子排列方式。士兵们要想突破八卦阵冲出去，就必须克服神秘莫测的阵型，而这个阵型是不断变幻的，守方将士的士气越高，阵型变化越快。除此之外，阵中到处存在一个陷阱坑，掉下去也可能导致殒命。对于导体部队，他们拥有大量的将士兵卒，可以很有把握地冲出重围，而掉进陷阱牺牲的个别人根本微不足道，要是天寒地冻情况下守方阵型变化就会变慢，导体部队就更能轻易地突围；对于半导体部队，他们只是残兵弱将，其中还有不少妇女，而且大部分都陷进了坑里，出来战斗的只是少数几个本领高强者，要想冲破防线难度自然就大了很多，要是天气冷了反而对自己不利；对于绝缘体部队，他们则全军都被困在了坑里，这些坑要深的多，有的简直就是万丈深渊，极少武林高手可以飞檐走壁到坑外，但迎接他们的将是另一个无底深坑！如果遇到下雪天，坑中将士就只能等死了……

当然，实际材料中的电子运动情况要复杂的多，而其能带结构也非常复杂。利用爱因斯坦光电效应原理，我们可以通过测量光电子的能量和动量分布推断材料里电子的能量和动量分布，从而得出能带填充情况。上图即是美国斯坦福大学沈志勋教授研究小组观测的两个固体能带结构（见其网页http://www.stanford.edu/group/arpes/index.html），其中实线是理论计算给出的结果。这些能带来自于不同元素的各个原子能级劈裂，图示是它们在动量空间的能量分布形式。许多情况下，各个不同元素的能带会存在相互交叠甚至杂化成新的能带，这样电子的能量状态分布就将更为复杂，材料的导电行为就更加难以预测了。现代凝聚态物理学研究中，认识清楚固体能带的结构是非常重要也是非常关键的一步，结合测量材料中电子和其他粒子的相互作用行为就可以从微观上去解释材料的电磁性质，为材料的应用打下坚实的基础。 无论材料的电阻率大小，其实都有它们的用武之地。现代生活已经离不开电，也就离不开各类电阻材料。金属导体可以用于输电和各类电磁产品；半导体可以用于各类电子器件，是信息时代的基础材料；绝缘体可以用于各种需要防电的场合；而电阻率为零的神奇超导体则可以用于各类输电线和电磁场设备等。下面就简要介绍一下半导体、超导体和新近几年发现的拓扑绝缘体材料。

半导体。半导体的发现和应用使得人类从电力时代步入到了信息时代。现代人使用的任何一件电器几乎都少不了半导体材料。半导体之所以能获得如此广泛的应用，是因为它能实现电流“开关”功能，从而判断“是”与“非”，即可以实现二进制的逻辑运算。其基本原理在于PN结，即由带正电的空穴为载流子的P型半导体和以带负电的电子为载流子的N型半导体形成的界面结。两类半导体中间是空间电荷区，存在两端负离子和正离子控制的电场。如果加P到N的正向电压，则空穴和电子都将流向该区并中和对方的离子使得该区范围不断减小直至导通；如果加N到P的方向电压，则空穴和电子朝反方向运动，空间电荷区将不断增大，电流无法通过。这样PN结就可以识别正反向电压，或者通过不同方向电压就可以控制电路的通或断，就实现了“1”和“0”的两个状态。利用PN结做成的逻辑电路可以进行逻辑运算，尽管电子在电路中的运动速率要远小于光速，但是建立电路关联只和电场存在与否相关，电场是以近光速运动的，这就能实现电路中的快速响应也就等效于快速运算，这也是“电脑”能比人脑快得多的原因。相比现在的计算机CPU和大规模集成电路芯片而言，世界上第一个用PN结原理做出的半导体晶体管并不漂亮，而第一个集成电路也非常“丑陋”，但正是这些创新的想法改变了所有人类的生产和生活，也获得了诺贝尔奖。遗憾的是，中国在传统半导体技术上是非常落后的，比如常用的半导体材料硅，中国往往只能大规模地出口低纯度的原料，然后买进发达国家提纯后的高纯硅用以器件制备。但是随着半导体技术的革新和发展，第二代甚至第三代半导体材料正在兴起，这些材料有砷化镓、氮化镓、碳化硅、氧化锌等。比如氧化锌材料有着神奇的压电效应——通过产生形变可以形成电势差。华人学者王中林的研究小组（见其网页http://www.nanoscience.gatech.edu/zlwang/）利用氧化锌纳米线的压电效应实现了“纳米发电机”，这意味着人们可以把一些机械摩擦中损耗的能量通过发电机存储起来，甚至可以捕捉生物活体内的机械能如心脏跳动等，为未来“纳米机器人”的实现提供了广阔想象空间。