作者：罗会仟　　 中国科学院物理研究所

插图一：“人活一张脸，树活一张皮。”人类其实是爱“面子”的动物。

（摘自《科学》杂志）

俗话说：“人活一张脸，树活一张皮。”人类其实是爱“面子”的动物，正是如此才有“女为悦己者容”的古语和“不爱江山爱美人”的故事。长的一副好脸蛋，对女人来讲或许可以傍个款爷乃至入宫为妃甚至自称为帝，对男人来讲那也许就是科举中第的关键一着，当然就算混的差点，驾马车出去溜达一圈换来满车的免费水果也不错。看来“面子”对人至关重要，也是标定每个人特征的最大关键。对于凝聚态物理学来讲，其实也存在类似的东西。下面我们就来看看固体材料的“面子”，尤其是超导材料的“面子”很是有趣。

插图二：固体材料的“面子”——费米面，指的是固体中电子按照能量从低到高填充而形成的最大等能面。

对于具有周期结构的固体材料来讲，电子在里面的运动并不是杂乱无章的。我们可以把周期性排列的原子内部结构简单地分成两部分：外层电子一般比较容易摆脱原子的束缚而自由运动，我们把它们叫做价电子；而内层电子被带正电的原子核束缚住，可以把它们和原子核看成一个带正电的整体，我们把它叫做原子实。这样，价电子在固体中的运动就可以看成是在一片具有周期结构的正电背景下的运动。根据量子力学的基本原理，我们很自然地知道价电子的动量分布应该是某些一系列的值，即它的能量分布也是某些特定的系列值。泡利指出，同一个系统中不能有两个或两个以上的电子处于完全相同的状态。那么，具有周期结构的固体材料中每个价电子的动量都不相同，注意到能量只和动量大小有关而跟动量方向无关，因此具有相同动量大小的电子将构成一个等能面。如果我们把电子按照能量从低到高排列的话，排完所有的电子之后它将形成一个实心体，体的表面就是电子的最大等能面。我们把它叫做——“费米面”。这就是固体材料的“面子”，对于固体材料来讲，材料的结构决定了费米面的结构，而费米面的结构则决定了它的物性。研究一个材料的费米面结构是凝聚态物理学研究中的一个有力手段，它能直接揭示材料物性的本质，对人们理解和应用材料特性都有重要的指导意义。

插图三：金属钾、铜、钙的费米面。（摘自佛罗里达大学物理系主页）

一般来讲，最为理想化的费米面应该是一个完全各向同性的球面。不过因为实际的固体结构千奇百怪，这就必然形成各种不同形状的费米面。“世界上没有两片完全相同的树叶，”当然，也没有两张完全相同的脸。固体中的费米面就是千奇百怪、变化多端的。对于金属钾而言，原子的排布是一个简单的立方体，因此它的费米面就是一个球形。但是对于金属铜而言，它的费米面就多了好几个“窟窿”，而对于金属钙，这些“窟窿”长的更大，使得这个所谓的“球面”只剩下了一些小片相连。

二、超导和费米面

超导是一种宏观量子现象，当温度降到某个临界温度以下时，超导体将进入超导态。这个时候电子在里面运动将不受到阻碍，即是零电阻状态，而所有的外界磁场将被排出超导体，从热力学方面来讲，电子之间产生关联且被“凝聚”了。巴丁、库伯、施里佛指出常规的金属及合金超导体中，超导现象是因为费米面附近的电子配对后相干凝聚而形成的。这些配成对的电子就叫做库伯对。

插图四：超导体中的库伯对形成机理。

我们可以简单地从上面假设的晶体结构理解这个理论。当电子在周期性结构的正电背景中运动时，它必然受到晶格的吸引作用，而原本的晶格也会因这个吸引作用而产生畸变。当下一个电子经过的时候，这种晶格的畸变就等同于给它一种额外吸引相互作用（注意库伦相互作用大小和距离平方成反比）。这样就等同于两个电子之间形成了一种相互吸引的作用。这就像冰面上两个人抛球，他们之间通过球这个媒介形成了一种配对作用。考虑到能量最低才能使配对最稳定，因此两个配对的电子要求是能量相同、自旋相反和动量相反的。要拆散配对的电子必须克服它们之间配对的能量，这就使得库伯对在一定温度一下比较稳定。这样的电子对在固体中运动，若其中一个电子受到散射，另一个电子必然受到相反方向的散射，两者相互抵消，对于整个电子对的运动而言，它的运动就是不受阻碍的，因而实现了零电阻的状态。

超导体中电子配对是发生在费米面附近的，因此，费米面的结构对于超导的形成过程以及超导体的各种特性有着密切的联系。令人感到惊讶的是，随着对超导的不断深入研究，各种类型的超导体不断被发现，而这些超导体的费米面可谓是众生百态。

三、常规超导体的“众生相”

我们习惯上把巴丁、库伯、施里佛的理论描述的超导体称为“常规超导体”。从超导材料的发现历史来看，常规超导体一般指的都是金属单质或者合金。其实超导体并不神秘，我们常见的许多金属甚至非金属都可以超导，有的在常压下就可以实现超导，有的需要在高压下才能超导。不过总体来讲，这些元素单质的超导临界温度都很低。我们可以从元素周期表中看出，目前发现的元素当中，超导元素占了大多数。

插图五：超导元素占了元素周期表的大部分。（摘自superconductors.org）

下面我们摘取几个超导元素单质的费米面来看看。金属铌的费米面像一簇盛开的喇叭花，你从几个方向去看都是一个个的“大喇叭”。而金属铟的费米面像一个帐篷顶，满满地撑开还有棱有角似的。至于金属钨的费米面，有点像一堆凌乱的小孩玩具，各种形状的都有，很是缤纷多姿。但是不管何种形状，他们应该都是一个面或者多个面，即是闭合的。但是对于高温超导体来说，它的费米面变得更加令人困惑。

插图六：超导铌、铟、钨的费米面。（摘自佛罗里达大学物理系主页）

四、高温超导体的“变脸术”

每个人都很爱惜自己的脸面，在外人面前，总是希望有个美好的展现，不给自己丢脸。常规超导体的面子固然各式各样，不过至少脸面还是比较完全的。但对于高温超导体，甚至有些时候“撕破了脸”，或者干脆“不要脸”。所谓的高温超导体是相对于原先的常规金属超导体而言的，因为金属和合金的超导临界温度都很低，根据巴丁他们的理论预言，常规超导体临界温度不可能超过30K。但是1986年及以后发现的铜氧化物超导体临界温度都大大超过了这个数值，最高的记录是136K，在加压情况下甚至可以达到160K。我们就把这一类超导体称为“高温超导体”。实际上“高温”一点都不高，即使是160K也是零下100摄氏度左右，这只不过是相对于“低温”到只有10K甚至更低的金属超导体而言。有趣的是，物理学中还有所谓的“低温等离子体”，其实指的是3000K左右的等离子体，这个“低温”一点也不低！自从高温超导体发现以来的20多年里，关于高温超导的形成机理还存在广泛的争论，不过还好的是，至少已经有了一些明确的结论。高温超导的机理和常规超导是不大一样的，只是高温超导体里面同样存在库伯对，但库伯对配对和相干凝聚并不是在同一个温度点发生的，而提供配对的相互作用媒介也不大像是晶格本身。高温超导体机理问题中最大麻烦制造者就是电子本身。常规的金属而言，电子的巡游性很强，可以把它们独立起来近似看成自由电子；但是对于高温超导体而言，电子和电子之间存在很强的相互作用，它们之间是强烈相互关联在一起的，所谓“牵一发而动全身”，只要一个电子运动状态发生变化，所有电子都要受到影响。就像一个教室里每个同学都手拉手在一起，下课了要出门将是一件很困难的事情。物理学对处理这种多体关联的问题很是一筹莫展。正是如此，研究高温超导体的费米面将带来许多有价值的信息，令人无比惊讶的是，高温超导的费米面太出乎人的意料了。

插图七：高温超导的费米面随着掺杂浓度的变化而变化。

（摘自斯坦福大学物理系沈志勋教授相关论文）

因为高温超导体的性质是随着掺杂浓度不同而变化的，这让人很自然地想到它的费米面也应该是随着掺杂变化而变化的。事实上确实如此！高温超导体在零掺杂的情况下是一个绝缘体，因为它的母体是一种陶瓷——看看我们用的碗就知道，它会是导电的么？但是随着掺杂浓度的增加，它的金属性逐渐增强，直到出现超导。若掺杂很多又使超导消失了，这时我们就可以得到一个和常规金属差不多的东西。从绝缘体走向金属，也使得它的费米面变得非常古怪。需要提醒读者的是，我们这里说的是空穴型的高温超导体，因此费米面也是空穴型的，空穴型的费米面和前面出现的电子型的费米面不同的是，它的弧是朝外弯的，弧外侧是空穴内侧才是电子。我们先看看过掺杂区，因为这个区域最接近正常金属，因此它的费米面是一个连续的大面。最佳掺杂点的费米面则略微收缩一些，不过你可以把图中方块不断连续重复，你会发现这些大弧仍然是闭合的（相对电子而言）。但到了欠掺杂区，这张“脸”就面目全非了。原来连续闭合的大圆圈被打断成了一段一段的弧，我们把它们叫做“费米弧”（Fermi arc）。这是非常奇异的，因为真正的费米面应该是闭合（电子按能量堆积出来的总是一个闭合的面），何况不闭合的何以叫做一个“面”？但这个欠掺杂高温超导体却偏偏不走寻常路，把费米面撕的支离破碎，很是奇怪。许多人都认为，这和库伯对在超导临界温度以上就形成的机制有关，但究竟什么造成这样的结果，还存在一些争论。

插图八：高温超导体的费米面：大费米面、费米弧和费米口袋。（摘自《自然》杂志）

当然，还有更令人困惑的是，2007年的一篇Nature文章报道说欠掺杂区域的费米面根本不是一个大的费米面，而是一个小的费米口袋（Fermi pocket）。在我们所看到的那一段段费米弧下面，其实隐藏的是一个个小小的口袋，口袋里面装满了电子。实验数据本身是没有必要怀疑的，但是这样的结论却引发了许多讨论。这让高温超导的“面子”更加扑朔迷离。如果我们把大费米面、费米弧、费米口袋画在一起的话，就形成了插图八那样的“费米面”。这就是神奇的高温超导体，神奇的大“变脸”！

五、其他超导体的“多面术”

插图九：其他超导体的多重费米面结构。（摘自arXiv.org）

（摘自斯坦福大学物理系沈志勋教授相关论文）

小时候看《镜花缘》，就为里面的“两面国”感到惊奇。一个人的脑袋前面是一张脸，后面还是一张脸，喜笑怒骂只需要转个身就可以了。对于某些超导体来说，这样的情况并不少见。我们来看看最近些年发现的三种超导体：MgB2，Sr2RuO4，LaFeAsO。

我们可以看到，这些超导体里面费米面有两个甚至是多个。MgB2的费米面里面是一堆“塑料薄膜”连接在一起，四周是四个独立的小圆片（实际上是八个，里面还分别套着一个）。Sr2RuO4则像一圈卫生纸，一圈圈的没完似的。而LaFeAsO这个今年才发现的超导体，费米面也是有多重多样。对于这些有多个“脸蛋”的超导体，它们的特性是非常丰富的，因为不同的“脸面”之间还存在复杂的相互作用。研究它们的费米面以及费米面所决定的性质，可以为它们的各种应用打下坚实的基础。

结语

各种各样超导体的“面子”恐怕已经让您一饱眼福了，其实这不过是冰山一角。要是把所有超导体的费米面罗列出来的，那简直就是一副艺术画卷。的确，费米面那优雅的曲线就像一副艺术品，无论你从那个角度看它，都散发着自然界最神秘的美丽。探寻这种美丽的真谛，正是凝聚态物理学家们一生孜孜不倦的追求！

插图十：优雅的费米面就像一尊艺术品，充满着自然界最神秘的美丽。

【作者声明】：本文参与“我心目中的现代物理”征文并已发表在《现代物理知识》（2009 年第4 期），文中未注明出处的图片均来源于网络。