关于碾子力学原理的注记 尤 明 庆1) （河南理工大学 能源科学与工程学院，河南 焦作 454010）

1) 尤明庆，男，1964年生，教授，从事岩石力学领域的教学研究工作。youmq@hpu.edu.cn
[caption id="attachment_1241" align="alignright" width="300"] 图1 费思量的石碾子（李香红摄）[/caption]
碾子用于谷物的脱壳、去皮和粉碎，是旧时重要的生活用具，由碾台、碾盘、碾架和碾磙构成（图1）。有些地方也将碾磙称为碾辊、碾砣、碾轮、磙子以及碾子等[1]。碾盘、碾磙由岩石制成，碾架为木质或木铁混合。碾盘中心设铁质竖轴，连接碾架。碾架上固定两个木质的水平轴栓，碾磙两端中心凿圆孔或方孔再嵌入含圆孔块石以支承轴栓；也可在碾磙方孔中固定轴栓，而在碾架上开设圆孔。以人推或畜拉碾架，带动碾磙一起绕竖轴转动，而碾磙又绕自身对称轴旋转。 1 碾子的受力分析 基于大量网上照片及文献[1]引用的《关于华北地区的农具调查》，碾磙为圆柱或圆台体，长度大致在40 cm~70 cm，直径与长度相当或略小。通常碾磙、碾盘表面平整，偶见刻有浅槽以用于粟（小米）的脱壳；碾盘边缘可略有凸起，以免谷物散落于地。
1.1 圆柱碾磙
[caption id="attachment_1242" align="aligncenter" width="300"] 图2 圆柱碾磙的运动及摩擦力[/caption]
碾磙为圆柱体（图2），质量为m，半径为 R，长度为L，里侧端面距竖轴 。不考虑最初的起动阶段，人以均匀速度走动，推动碾架绕竖轴以角速度 转动，碾磙绕水平轴旋转角速度为 ，则碾磙与碾盘接触线上距里侧端面 处的速度为
(1)

在距碾磙内侧端面
(2)

处速度为零。显然，碾磙只有一个截面作纯滚动，其内侧作向后滑移，外侧向前滑移。碾子对谷物的作用不仅是竖直方向的重力挤压，还存在水平方向搓动即剪切力，有利于实现谷物的脱壳、去皮和破碎。与碾同音的汉字“捻”和“拈（撚）”都具有相对搓动的含义。 碾磙自转动量矩的数值恒定而方向不断改变，需要受到垂直于纸面向外的力矩，或产生垂直于纸面向内的陀螺力矩[2]。竖轴不能对碾架作用竖直力，因而陀螺力矩将使碾盘对碾磙的支承力外侧增大而里侧减小；不过因转速较低，合力作用点偏离中点距离小于碾磙长度的 1%。陀螺力矩的作用可不必考虑。 碾磙与碾盘之间的水平作用力类似于滑动摩擦，摩擦因子 与所碾谷物及其破碎程度相关，笔者对面粉的初略测试结果是0.5 左右。碾磙自转速度恒定，则所有作用力关于其水平轴的力矩为零，有 0 = L/2。摩擦力关于碾盘中心竖轴的力矩为 (3)

这就是推碾者需要提供的力矩，经碾架、水平轴栓提供力偶而作用于碾磙。岩石的比重约为 2.7，重度 约为 26.5 kN/m3。碾磙直径为 50 cm 即半径R为 25 cm，长 L为 50 cm，质量m为 265 kg； =10 cm，力矩为162 N？m；若推碾者绕行半径为 1 m，则推力为 162 N。 碾磙绕竖直轴转动时，需要向心力 (4)

则 F = 36.6 N。若人推碾速度1 m/s，则F = 92.8 N，大于推力的一半。又，碾磙与碾盘之间谷物变形使碾磙逐步向外蠕动，最终不是碾盘的径向摩擦、而是碾架和中心竖轴来承载离心力。
1.2 圆台碾磙 畜拉的大碾子多是直圆柱体，人推的碾磙可以制作成圆台状，大端在内侧。记台体内外侧半径为R和r，其余符号延续前文。因锥度较小而不考虑碾磙倾斜的影响，由水平作用力即摩擦力关于碾磙转轴的力矩为零，可求得纯滚动截面的半径 (5)
若圆台形碾磙的大端直径 55 cm、小端直径 45、长为 50 cm，则质量266 kg，比直径 50 cm、长50 cm的圆柱形碾磙仅重 0.8 kg。纯滚动截面的半径R0 =25.4 cm，距大端21.3 cm；两侧为126.5 kg 和139.5 kg，大端侧较小。碾磙与碾盘之间的摩擦合力为 64 N，不再为零：大端在内时合力向后。 摩擦力关于碾盘中心竖轴的力矩 (6)

这也是推碾者必须提供的力矩。圆台大端在内时力矩较大，为182 N？m；而在外时仅为137 N？m。作为参考，推动直径45、50和 55 cm，长50 cm 的圆柱碾磙所需力矩为132、162和197 N？m。
1.3 讨论 上述数值是基于碾磙与碾盘平整接触的理想状态。不过，谷物初碾时尺度较大，玉米在 5 mm 左右，碾磙需要压缩、翻越谷物，必然受到向后的水平阻力。即使是圆柱碾磙，其底部受到的水平作用合力并不为零，推碾所需的力矩也就增大。笔者所购木质碾子模型，不能压碎大米，只能推之滑移，而自身不再绕轴转动。 与同等质量的圆柱碾磙比较，若圆台碾磙的大端在内侧，而谷物总是靠近碾盘中心添加，在碾磙较大直径和较大竖直压力下易于被翻越、压缩而降低高度；谷物产生的水平阻力对竖轴的力臂也较小，减小了推碾者的出力。谷物初步破碎之后经倾斜台面推挤或笤帚扫刷向外；碾磙外侧尽管直径较小，压力较小，但滑动速度较大，粉碎效果较好。 平稳碾压时，圆台大端在内侧时所需力矩较大，或者说有效工作阻力较大，表明其粉碎谷物的效率较高；干活儿总得出力才能见效。该力矩低于初期破碎谷物时的数值，并不会构成推碾的实际困难。大端在内侧时纯滚动截面比在外侧时更靠近碾台中心，近7.4 cm；因而自转速度较小，碾磙相对于碾盘的滑动速度更大，有助于谷物的粉碎。极而言之，若大端在外侧，且顶点正好位于碾盘中心，则碾磙作纯滚动而最为省力，但只能将谷物压成饼状。 圆台制作增加了难度和时间，但与同重量的圆柱碾磙相比，可以增大破碎能力，减小初碾谷物时阻力，提高后期碾压粉碎的效率。某些博物馆将圆台碾磙的大端置于外侧，或许有误。
[caption id="attachment_1249" align="alignright" width="300"] 图3 推碾的方向和位置[/caption]
2 推碾的方向和位置
石磨上下盘（扇）都有齿槽，转动时可将物料向外推送，因而只能以单一方向——通常是逆时针方向旋转[3]。碾子是对称结构；不过，人多数右侧手臂力量较强，而逆时针推碾右手在外侧，可以得到较大力矩：若推力X>x, 力臂Y>y, 则力矩XY+ xy > Xy +xY。 基于众多网上视频、照片及少量咨询，可以确认推碾位置在A 或B，即在碾架内侧向外推碾（图3）。这样不仅视觉效果较好，且可以减小竖轴与碾架的作用力及摩擦引起的无效阻力矩，延缓轴孔磨损，降低噪音。噪音高低也是结构是否优良的标志，且容易判别。 如前所述，碾磙绕碾盘中心竖轴转动会产生离心力，推碾速度较快时其数值可以与推碾力相当；而在位置b向内、或B向外推碾，分别是推力与离心力之和、或之差作用于竖轴。后者显然较优。 大碾子的转动速度较低，离心力相对较小；而碾磙与碾盘之间水平作用的合力相对增大，在位置 A向外推碾时部分推力可以由碾盘的作用力平衡，从而减少竖轴与碾架之间的作用力。畜拉的大碾子当然应拴套于A。 如果两个人推碾，主推者得在位置A 或B，而力弱辅助者在对称位置a 或b；在C处推碾也是为了减小竖轴与碾架之间的作用力。 3 碾子与冬小麦 石转磨发明于春秋，制作困难，开凿齿槽对石材要求较高，且需定期修整[1, 3]；时至西汉，民间仍很缺乏。与此相应，秋播夏熟的冬小麦在4000年前或更早自西亚传入后，尽管适宜北方气候，但仅在少数地方种植，长期不被当作主要粮食作物[4, 5]——小麦若不被粉碎去麸而整粒煮食，乃是“恶食”，如南宋？朱翌“邦人馈米不肯取，示以麦饭吾所有”。幼时也曾听祖父说，塾师曾以“葱羹麦饭两相宜，麦补丹田葱润脾；太守休言其味淡，前村尚有未成炊”告诫学生[6]。 碾子最早出现于东汉[1]，其制作难度较低，使用寿命极长，地方拥有量会累积增多。或许是碾子，而不是石转磨，促进了冬小麦在北方的传播。至于人口即劳动力优势对冬小麦传播及两年三熟制的决定性作用[5]，似仍可讨论。人口数量与粮食生产本是相互促进而非因果关系。 历史上北人因战乱多次大规模南迁，冬小麦随之南传，出现一年稻麦两熟的轮作；但北人融入当地后多放弃小麦而单种水稻，一年一熟[5]。这或许缘于南方缺少加工小麦的器物。碾盘直径 180 cm、厚 20 cm时质量已达1370 kg，在江淮水网地区运输困难。 4 结 语 粮食是人类生存的根本所在，由此产生了众多用具，进而影响粮食作物的传播和人口的增加。这些用具经千百年来的传承演变，已经完全符合力学原理，显示出能工巧匠对万物之理的探究和理解。抚摸浑重的碾磙，遥想先民追求美好生活的辛劳和智慧，敬仰之情油然而生。
参考文献 1 周 昕. 中国农具通史. 济南：山东科学技术出版社，2010. 312-337；789-791. 2 刘延柱，朱本华，杨海兴. 理论力学(第3版). 北京：高等教育出版社, 2009. 401-429. 3 尤明庆. 关于石转磨力学原理的注记. 力学与实践，2014, 36(?)：??-?? (You Mingqing. A note to the mechanical principle for the millstones. Mechanics in Engineering, 2014, 36(?): ??-?? (in Chinese)) 4 程 龙. 一部纸笔完成的耕耘. 读书，2012，(10)：57-62.(Cheng Long. A book of ploughing with pen on paper. Reading, 2012，(10)：57-62 (in Chinese)) 5 韩茂莉. 中国历史农业地理(上). 北京：北京大学出版社, 2012. 315-371. 6 尤明庆. 诗句为什么有不同的版本. http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-758567.html