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中科院力学所
关于石转磨力学原理的注记
力学园地
2016年01月03日关于石转磨力学原理的注记 尤明庆1) ，苏承东 （河南理工大学 能源科学与工程学院，河南 焦作 454010）
2013–09–22 收到第1稿，2013–11–01 收到修改稿 1) 尤明庆，男，1964年生，教授，从事岩石力学领域的教学研究工作。youmq@hpu.edu.cn石转磨（简称石磨）是昔日重要的粮食加工器具，对农作物传播和人口迁徙产生过重大影响[1]。不过，从俗语“有钱能使鬼推磨”可见推磨之辛劳。宋？邵博《闻见后录》有“王元之，济州人，年七八岁已能文。毕文简公为郡从事始知之。问其家，以磨面为生，因令作《磨面诗》。元之不思以对：‘但存心里正，无愁眼下迟。若人轻着力，便是转身时’。文简大奇之，留于子弟中讲学”。王元之即北宋王禹偁(954—1001)，官至翰林学士。 笔者幼时，稻之脱壳、麦之碾粉已由电动机械完成，称为机稻、机麦。只是豆腐房仍可见人以站立姿态推拉悬挂三角架而转动的石磨；家中也以直径25 cm 左右的手磨（图1）将碎米磨粉做饼。现在电机驱动的石磨得以替代钢质机械而进入粮食加工厂；网上可见到人或驴马绕圈驱动的石磨以及水力和风力驱动的大型石磨。 通常认为，基于早已存在的石磨盘、棒以及制陶的旋转圆盘，在高硬度铁质工具出现后发明石磨于春秋战国时期，原名为硙，汉以后称磨，介绍文献很多[2~7]，但缺少对力学原理的明确说明。本文对粉碎机理、齿槽布置及推磨出力给出初步解读。 1 石磨的结构和粉碎机理 早期石磨以洼坑磨齿为主，很快发展为辐射型的分区平行线型齿槽(图1),最长者称为主槽。两盘齿槽相同，但工作状态是上盘反扣，因而旋向不同。颗粒从内向外输送而由粗变细，因而大型石磨的下盘通常做成微凹的碟型，且中心部分可不加工齿槽形成磨膛以便向齿槽配送物料；文献[3]“上下扇磨齿排列方向相反，扣合安装则磨齿吻合”以及“沟槽深度由外向内递减”，似乎有误。 通常石磨下盘静止，上盘转动。水力和电力驱动的石磨，动力轴透过下盘以方形轴端或T型键驱动上盘。某些跨越溪流的小磨坊，结构简单，以卧式水轮的转轴直接驱动石磨下盘，并以绳索限制上盘的周向转动[6]。石磨重量可平衡木制水轮(雨季)所受浮力；若浮力不影响结构稳定，或许仍以上盘转动为宜。大型水磨多采用效率较高的立式水轮提供动力，经换向、变速后驱动上盘，其结构复杂。 石磨工作时上下磨盘被物料完全分开，不存在岩石之间的直接接触，即不仅下盘沟槽有物料，上盘沟槽以及沟槽之间的齿面也有物料（图2）。揭开上盘直接观察即可确认。沟槽可以剪断颗粒，而齿面对物料的碾压是主要粉碎机理，因而上盘厚度即重量通常大于下盘[5，6]以产生较大的水平剪切力。又，假若石齿面真的直接接触，对于每分钟100转左右的水磨，滑动摩擦将使齿面很快磨损，且产生热量而引起高温，甚至产生火花而引起面粉爆炸[5]。当然，没有添加物料的石磨不应转动。 上盘开有眼以添加物料，其下游开有斜槽（图1），大型石磨可从中心磨膛开凿多个斜槽，使物料进入与之相连的上盘沟槽，旋转后输送到下盘沟槽。不仅如此，输料斜槽尾端以及沟槽交会处的物料因底盘阻碍不能自由向前滑移，受到上盘碾压而变形、破碎，同时上盘微小抬升以翻越阻碍之物料。其后物料可从斜槽以及上盘沟槽持续进入齿面之间。利用滚杠移动较重机械与此类似：先将较细铁棒塞到待搬物体前，拖拉物体并阻止铁棒向前，则铁棒会被“吃住”而滚动向前，其后再垫入滚杠。
沟槽的形状并不对称（图2）。上下盘沟槽交会时可以使大颗粒物料剪断，并使部分物料进入齿面之间遭受碾压，为此倾角 应小于谷物与岩石之间的摩擦角。沟槽交会点总是向外移动，上盘沟槽倾斜的后壁产生推力和压力，经物料之间摩擦传递而推动上下沟槽内的物料向外输送；相应扰动使颗粒较小者在下、较大者在上[8]，而沟槽深度由内向外逐步变浅，有助于物料被后续沟槽剪断。
大型磨盘的齿面多开设与主槽平行的细沟（图2），以增加摩擦力、提高物料破碎效率：颗粒被上下盘的细沟“吃住”之后只能从中剪断。用于小麦的磨盘，细沟密度可高达16条/英寸；而用于玉米的磨盘细沟尺度较大，只有3~6条/英寸[5]。 石磨上盘由下盘支承，两盘间隙并不能主动调节；对于指定石磨，其间隙由待磨物料尺度以及供料速率确定。为了减小石磨间隙以获得较细成品，物料可能需要筛分后而多次过磨。文献[7]所说“拉杆”似乎不会用于调整两盘的间隙，而可能用于操控传动机构的离合。 2 齿槽的分区布置 西汉已有槽齿分区数为6的石磨，东汉之后分区数稳定在8[4]；国外大型水磨有分为10区乃至12区的。不过，对于中国而言，磨盘分成8区或许是文化使然：文王之卦象就是8区。图3给出6分区（下方细线）和8分区（上方粗线）时石磨槽齿的示意图，每组虚线表示上盘不同位置的一个分区沟槽。沟槽宽度未在图中标出。上盘逆时针旋转，沟槽交会点向外移动。就笔者所见实物和图片而言，中国石磨均为上盘逆时针旋转的沟槽布置，而国外石磨则兼有两种方式。又，后拉需要手指关节用力，肘关节也不能舒展；而前推是手掌用力，且出力较大；而人多数右侧手臂力量较大，因而应驱动石磨逆时针转动。
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6分区石磨，分区之间的夹角为60o；在主槽夹角 大于30o时，下一分区内上下盘的沟槽夹角 大于90o，不能对物料产生有效剪断，只是将物料向前输送；而对于8分区石磨，沟槽夹角始终小于90o。增加分区数目有助于提高剪断功能，但增加制作难度，降低输送物料的速度。 石磨主槽并不通过磨盘几何中心(图1)，因而沟槽交会点都是周期性地由中心逐渐向外移动（图4下部），载荷平稳，输送连续。不过，从众多东汉陶制明器[4]猜测，初期石磨主槽应通过磨盘几何中心。这将使得上下盘所有主槽以直线方式瞬间交会（图4上部），同时剪切物料而形成冲击载荷；且石磨停止位置将在主槽交会之处，引起再次启动的困难。人力驱动石磨时想来会感觉明显，从而对齿槽布置做出调整。笔者尚不知道相应调整的具体时间。
3 人力驱动的石磨 农村的豆腐作坊现在也是电机驱动石磨，手磨之外的人力驱动石磨已难以见到。因而略作说明以为纪念。显然，人绕周而行推动石磨，速度较慢，效率较低，且容易引起头晕；当然，毛驴可以绕周而行地缓慢拉磨，可也得蒙上眼睛。这与推碾过程完全相同，只是后者绕行半径较大。 人以站立姿态推拉三角架驱动石磨旋转(图5)较为优越，速度可达30~60转/分。三角架底边以绳索悬挂于屋梁，而顶点直接搁在磨侧木座孔中。因操作者力量所限，通常石磨直径在45 cm 左右，厚度在 10 cm左右；而手臂伸缩加之上身前倾的距离可达50 cm 以上，正好与石磨尺度适应。 若上盘半径为R，厚为h，摩擦因子为 ，岩石密度为 ，则石磨转动时的阻力矩为 (1) 式中m 为石磨上盘的质量。人通过三角架提供的力矩 (2) 式中F 是人提供的推力，L和角度 和 如图5所示。 以向上竖直线起算， 以右向水平线起算，均以顺时针为正，图示位置的 和 为正值。当力矩M 大于M*时石磨加速，否则减速。又，操作者会水平移动三角架调整角度 以增大作用力臂。 上盘转动一周阻力功为 ，角速度 时动能为 ，若在图5顶部的 /3行程不能提供有效功，石磨动能需达到P/6 才能克服上方死点，相应的最低转速为 (3) 停止出力时推磨的速度是 。 对上述参数可略作估算。石磨上盘直径 40 cm，厚10 cm，岩石比重2.7，则质量约为 32 kg。磨碎小米时摩擦因子 估计为0.4~0.5，若磨制豆浆则更低。以 =0.5 计算，则M*= 20.9 N？m；若L=0.25 m，则 =0、 =– /3 时，力臂为最大值的一半，出力F = 167 N 可与阻力平衡。该值与推动直径50 cm、长50 cm碾磙的力值相当。推磨是间隙出力，推力可以更大。克服死点需要的最低转速 *=8.27 /s, 速度V*=1.03 m/s。又，磨制豆浆时通常另有一人在石磨侧面随豆加水，并在推杆通过死点时推拉助力。 动能与速度平方相关，因而石磨转动较快则通过死点后速度降低较小，或者说石磨能平稳运转。正常工作时石磨转动一周的阻力功是确定的数值，与转速并没有关系。力气较大的操作者可以在最佳位置附近出力作功，即增加出力而减小行程，使得每一次出力都是有效；力气较小者不得已在较长行程中持续出力，而部分出力不能有效作功，更易劳累。这就是常说的“得用点儿劲，把磨推圆啦。推圆了才省劲”。马太法则 (Matthew effect) 真是无处不在。 4 石磨的材质 为了得到高质量面粉，小麦需要被沟槽齐整剪断而不是压碎，以免麸皮被过度碾碎而筛分困难，。这就要求齿槽斜面与齿面保持锐利的交线（图2所示剪断处）。圆化的交线还会引起阻力增加和温度升高，而过高温度影响面粉的品质。磨齿及细沟需要定期修整，即镩磨 (dressing)，间隔时间与石质相关。在没有起重机械的年代，揭开大型石磨可是件困难的工作，甚至引起人身伤害。而伤人之石磨犹如食人之虎狼，或许还会伤人，通常被废弃而成为墓碑或踏石[5]。 制作石磨的最好材料是硅质或钙质胶结的砂岩；其次是石灰岩。均匀致密的石灰岩单轴压缩强度可以达到300 MPa 左右，不过脆性较高，修齿技术要求较高。又，花岗岩强度在200 MPa 左右，主要构成矿物长石和石英的热膨胀系数相差5倍，而含量5%左右的云母强度和杨氏模量又较低；其内部存在大量微裂隙，热胀冷缩及局部受力所产生的应力集中使材料逐步损伤，引起晶粒脱落。自然界花岗岩可风化为石英和长石颗粒而成为建筑用砂，安徽黄山的奇峰峻岭也源于花岗岩风化。
《天工开物》称“江南少粹白上面者，以石怀沙滓，相磨发烧，则其麸并破，故黑麸参和面中，无从罗去也。江北石性冷腻，而产于池郡之九华山者美更甚。……凡江南磨二十日即断齿，江北者经半载方断”[9]。估计所说江南石为花岗岩而江北石为石灰岩，后者热传导系数较大。九华山核心区域为花岗岩，外围也有石灰岩；而南方黄山除少量强度较低的板岩和粉砂岩外都是花岗岩。 安徽池州九华山靠近长江，但仍在长江之南，《天工开物》所述似乎有误。作者宋应星（1587—1666）江西省南昌府奉新县人，28岁中举后6次北上赴京会试，均不中，但得以游历；47岁赴西南约150 km的同省袁州府分宜县任教谕，并于3年后即1637年完成《天工开物》[10] 而留名千古。书中多次提及“江南”和“江北”。从“霉气先南后北，岭南谷雨时，江南小满，江北六月，燕、齐七月”以及“江南信郡（今江西上饶）水碓之法巧绝”[9]可以看出，“江”指长江而不是赣江或其他地方河流。袁州与南昌之间明朝设有临江府，所指是赣江，其主体流向是南北而非东西。 5 结 语 石磨以齿槽剪切和齿面碾压破碎谷物，而上下盘的齿槽以及齿面都需要较高的制作精度以配合使用。如果注意到磨齿钝化之后进料不够顺畅但仍能碾碎谷物，那么制作圆柱或圆台形石柱在石盘上绕中心滚动即石碾也是容易理解的。石碾发明于石磨之后，最早出现于东汉[2]；其制作简单，操作便利，使用寿命几乎没有限制，只是碾盘尺度较大而搬运困难。 致谢: 衷心感谢审稿专家的修改意见和史晓雷博士的有益讨论。 参考文献 1 韩茂莉. 中国历史农业地理(上). 北京：北京大学出版社, 2012. 315-371 2 周 昕. 中国农具通史. 济南：山东科学技术出版社，2010. 259-263；312-337 3 赵 屹，田 源，莫秀秀. 传统石磨制作工艺调查. 设计艺术，2009，19(2): 10-13 (Zhao Yi, Tian Yuan, Mo Xiuxiu. Investigation on manufactural technology of traditional stone mill. Art of Design, 2009，19(2): 10-13 (in Chinese)) 4 李发林. 古代旋转磨试探. 农业考古，1986，6(2): 146-167 5 Hazen T R. The Art of the Millstones. http://www.angelfire.com/journal/millrestoration/millstones.html 6 陈维山. 水磨房——渐行渐远的风景. 兰州: 甘肃文化出版社, 2006. 7 史晓雷. 繁峙岩山寺壁画《水碓磨坊图》机械原理再探. 科学技术哲学研究，2010，27(6): 73-77 (Shi Xiaolei. Further research on the mechanical principle of the wall painting painted two hydraulic trip-hammers and one watermill of Yanshan Temple in Fanshi County. Studies in Philosophy of Science and Technology, 2010，27(6): 73-77(in Chinese)) 8 尤明庆. 周期扰动引起的物体单向运动. 力学与实践，2010, 32(4): 117-118. (You Mingqing. Unilateral motion resulted from periodical disturbance. Mechanics in Engineering, 2010, 32(4): 117-118 (in Chinese)) 9 宋应星，潘吉星. 天工开物译注. 上海：上海古籍出版社, 1993. 238-239; 304 10 潘吉星. 宋应星评传. 南京：南京大学出版社, 1990. 650-654