应用数学和力学的结合－

钱伟长的代表作

？

嵇？ 醒

（同济大学？ 航空航天与力学学院, 上海200092）

？？？？？？？？？？？？

1？？？？？？ ？引言
钱伟长^[1-3]始终把提升和发展中国力学放在心上。年过七旬，他创办了《应用数学和力学学报》之后，又创立了应用数学和力学研究所。值得注意的是他把学报和研究所都定名为《应用数学和力学》。
钱伟长曾讲过为什么要起名为应用数学和力学研究所？他说：“就是要推动数学与力学继续结缘，以先进的数学工具来研究力学，以力学的进展来推动现代数学的发展”。这是钱伟长一生的力学实践所换来的箴言。
钱伟长讲的《应用数学和力学》是指通过应用数学和力学的巧妙结合以达到应用力学的创新发展。应用数学和力学的结合是钱伟长创新研究的精微所在，这是钱伟长应用力学创新思想的核心。
向钱伟长学习，就是要学习钱伟长的《应用数学和力学相结合》的研究理念。要学习钱伟长的《应用数学和力学相结合》的研究理念，必须首先懂得钱伟长的《应用数学和力学相结合》提法的深刻内涵。本文以钱伟长的代表作来探索《应用数学和力学相结合》的深刻内涵，领略钱伟长学术创新的源头，从而提升力学研究的创新能力。
2？？？？？？ 哥廷根应用力学学派的成功之道
哥廷根应用力学学派^[4]出现在20世纪初的德国，20世纪30年代在美国广为传播，并进一步发扬。20世纪是航空航天事业突飞猛进的时期，哥廷根学派作出了历史性的贡献^[5]，促成了飞机超过音速，人类征服宇宙。哥廷根应用力学学派在应用数学解决不了复杂工程的需要时，创造性地走出了一条从工程中提炼力学问题，根据对力学问题的本质认识，建立尽可能近似、尽可能简化的数学模型，再用数学方法去求解。于是，应用力学发展迅速，而哥廷根学派则人才辈出，引领航空航天和其它工程技术的日新月异的进展。哥廷根应用力学学派走的是数学、力学、工程相结合的成功之道。




国家自然科学基金项目（10672122）资助.
Email: jixing@tongji.edu.cn
仔细追踪哥廷根应用力学学派的成功之道，不难发现他们的成功之道和弹性力学的建立和发展的轨迹有着一脉相承的渊源。哥廷根应用力学学派强调工程问题的近似的简化建模，可看成是允许弹性力学半逆解法有较小误差的灵活应用，哥廷根应用力学学派重视应用数学和力学的巧妙结合则是弹性力学发展数学解析解法的延伸^[6-7]。由此可见，要学习，研究，继承哥廷根应用力学学派的优良传统，除了要钻研这个学派的研究成果外，在学习弹性力学的时候，关注半逆解法，关注解析解法，可以为今后走向哥廷根应用力学学派的应用数学、力学和工程相结合的研究理念，打下坚实的基础。
1940年，钱伟长在多伦多大学师从应用力学学派的应用数学家J.L. Synge教授，以后又在加州理工大学von Karman 教授处做博士后，对应用数学和力学的结合，获得了深刻的体会，为他毕生从事弹性力学研究，打下了坚实的基础。
钱伟长在力学中的杰出贡献，呈现出他对哥廷根应用力学学派有独特的感悟^[8-10]。应用数学和力学的巧妙结合是钱伟长创新研究的精微所在，这是钱伟长应用力学创新思想的核心，是他尽力提倡的。钱伟长创新研究的特点是在应用数学和力学的巧妙结合中独辟蹊径，取得意想不到的结果。所以，有必要来看一下，钱伟长是怎样做的。
弹性板壳内禀理论^[11]，弹性圆薄板大挠度问题的摄动解法^[12]，拉格朗日乘子法在变分原理中的应用^[13],是钱伟长的三项里程碑式的代表作，无一不是应用数学和力学的巧妙结合的佳作，无一不显示钱伟长独辟蹊径和刻意创新的特点。钱伟长独辟蹊径的特点体现在他在力学中选有特别意义的理论创新题目、在数学中选潜在的方法、和务必达到二者结合上的创新和结果上的创新。钱伟长的刻意创新的特点是注重独创性。他的论文堪称经典，影响久远。
3？？？？？？ 弹性板壳内禀理论？？？？？？

弹性薄板和弹性薄壳理论建立之后的数十年间，没有人对板壳理论的基本方程与三维弹性力学的基本方程的关系研究过。钱伟长在多伦多大学师从 J.L. Synge教授，以此问题作为他研究弹性力学的博士论文题目。弹性薄板和弹性薄壳方程的推导历来采用直法线假设，而钱伟长从三维弹性力学出发，采用中面上的拖带座标系，把张量分析和微分几何作为数学工具，这是史无前例的。由这种数学工具与力学问题的结合，严格地从三维弹性力学方程导出了用板壳中面的拉伸应变和曲率变化6个分量表示的全部方程，适用于任意形状的壳体，把大变形的非线性也包括在内。再把应力和应变分量按厚度方向的坐标展开为泰勒级数，按中面拉伸张量、中面弯曲张量，以及中面曲率张量三者与板壳厚度的相对量级来进行板壳问题进行分类和近似，得到了12类薄板和35类薄壳的近似方程，把所有可能的简化都囊括其中。论文发表，使得钱伟长在美国脱颖而出，时年三十。

4？ 弹性圆薄板大挠度问题的摄动解法
弹性薄板大挠度非线性方程在1910年，由von Karman建立。Karman方程是一组耦合的非线性偏微分方程，数学中没有针对性的求解方法，薄板结构却迫切需要有效的解法。在von Karman的门下做博士后的时候，钱伟长着手解决这个问题。此前，J.J. Vincent 以摄动法求解圆薄板问题，采用载荷作为摄动参数，结果不理想。S. Way放弃摄动法，改用幂级数解法，结果也不理想。钱伟长需要在茫茫的应用数学的海洋里寻找出路，他锐敏地看到幂级数解法不适合于非线性微分方程，应予以放弃。摄动法对非线性微分方程是适用的，但是以载荷作为摄动参数不适合于薄板大挠度问题，钱伟长把摄动参数改为中心点的挠度和板厚之比，马上获得了满意的结果，与实验所得的结果非常符合。此项研究成果于1956年，获得了国家自然科学二等奖，时年四十三。
5？ 拉格朗日乘子法在变分原理中的应用
1954年，胡海昌提出广义变分原理的方法与弹性力学中提出最小位能原理和最小余能原理是一样的。即首先要构造一个变分原理的泛函，通过变分推导得到和弹性力学方程及边界条件等同的欧拉方程。由于变分法中没有从欧拉方程反推泛函的办法，广义变分原理的泛函也只能用试凑法得到。这已经成为弹性力学中建立变分原理的定则。钱伟长却不甘心于此，他从变分法中，找到了拉格朗日乘子法。拉格朗日乘子法的原意是放松李兹法对试函数的选取，不要求预先满足约束条件，其做法是把这些约束条件乘上拉氏乘子，计入变分原理的泛函中，然后对试函数中的未知系数和拉氏乘子看作独立变量进行变分，并确定这些未知常数。由此可见，拉格朗日乘子法不是用来构造新的泛函的。可是，钱伟长却有了独到的见解，对拉格朗日乘子法开创了一种全新的用法。他的做法是把最小位能原理的约束条件乘上拉氏乘子计入最小位能原理的泛函中，把这些待定的拉氏乘子和原来的变量都看作是独立变量而进行变分，从有关泛函的驻值条件就可以求得这些拉氏乘子用原有物理变量表示的表达式。把这些表达式代入待定的拉氏乘子中，就得到广义位能原理的泛函。同理，从最小余能原理出发，可以得到广义余能原理的泛函。换言之，胡海昌的广义变分原理，可以用钱伟长的拉格朗日乘子法，从古典的变分原理推出。此项研究，钱伟长获得了国家自然科学二等奖，时年七十。此项研究成果导致弹性力学变分原理一章改变写法^[14]。

钱伟长说：“哥廷根学派是应用数学的创导者，他们都有很深的数学功底，有更好的对物理过程的理解，都强调对物理过程的本质认识是主要的，但在数学的使用上，从不吝惜使用，力求其用在刀口上，用得漂亮，用得朴素简洁，为了解决一个实际问题不惜跳进数学这个海洋来寻找最合适的工具，甚至于创造新的工具”^[8]。钱伟长在前二项研究的成功是由于找到了最合适的数学工具，那么，他的第三项研究的成功是由于对拉格朗日乘子法作了创新的改造。

钱伟长最值得学习的地方是他的独辟蹊径和刻意创新，最值得效法的是他身体力行的应用数学和力学巧妙结合的研究理念。
6？？？？？？ ？还原学习法
钱伟长的三篇代表作足以让我们从中窥视到他是怎样学的，怎样想的，怎样选题的，怎样研究的，怎样在三、四十岁的时候就能脱颖而出。
怎样从钱伟长的三篇代表作中窥视到他是怎样学的，怎样想的，怎样选题的，怎样研究的。采用还原学习法，是一种较为有效的办法。
在读钱伟长的论文时，退回到力学和数学在论文前的状态，退回到钱伟长在当时的学历和背景。看钱伟长如何在力学的理论中提出需要创新发展的题目，如何在应用数学中找到能用于解决选定的力学问题的方法，看钱伟长如何发现应用数学和力学的结合点，看钱伟长在应用数学和力学相结合的过程中如何克服困难的，看钱伟长在整个研究过程中如何独辟蹊径、刻意创新的。
钱伟长的三篇代表作值得我们反复钻研，从中可以探究到如何跳到数学的海洋里找到合适的方法，从中也可以探究到如何跳到弹性力学的海洋里找到合适的题目，更为重要的是可以懂得如何获得钱伟长式的独辟蹊径的创新灵感。
特别值得注意的一点是钱伟长开展的研究，无需国家的财力物力和人力的特别支持，这就特别适合于成功前的在校学生和青年教师效法的。钱伟长无疑是对在校学生和青年教师最具吸引力的好榜样。在当前，杰出人才是国家的急需，一旦像钱伟长一样有了成功之作，就有可能像钱学森、郭永怀那样，进入到国家的重点工程或关键行业中去施展才华，实现数学、力学、和工程三结合的理想。

参考文献

1 ？中国科学技术协会编，中国科学技术专家传略，工程技术编，力学卷1， 166－195，中国科学技术出版社，1997
2 ？武际可,近代力学在中国的传播和发展，北京，高等教育出版社，2005
3 ？钱伟长， 八十自述，深圳，海天出版社，1998
4 ？冯秀芳,^, 戴世强, 哥廷根应用力学学派及其对我国近代力学发展的影响, 第九届全国现代数学和力学学术会议，2004，637－642
5 ？冯卡尔曼，空气动力学的发展，上海科学技术出版社，1959
6 ？嵇醒，仲政，戴瑛，应用力学方法初探，力学季刊，2004，25(4):470-477
7 ？嵇醒，戴瑛，仲政，经典弹性力学与应用力学方法，力学与实践，2006，28(3):91－94
8 ？黄黔，试谈钱伟长学术思想的几个特点,上海工业大学学报，1992，471－474
9 ？程昌钧，钱先生对力学和应用数学的贡献，力学进展，2010，40，480－495
10 ？冯秀芳，钱伟长的治学理念和教育思想，上海大学出版社，2007
11 ？J.L.Synge and Chien Weizang, The intrinsic theory of elastic shells and plates, Applied Mechanics, Theodore Von Karmen Anniversary Volume, 1941：103－120

12 ？钱伟长, 林鸿荪, 胡海昌, 叶开玩. 弹性圆薄板大挠度问题. 北京, 科学出版社 1954

13 ？钱伟长. 弹性理论中广义变分原理的研究及其在有限元计算中的应用.力学与实践，1979，1，16—24.
14 ？陆明万，罗学富，弹性理论基础，清华大学出版社，1990

Applied Mathematics and Mechanics-

W.Z. Chien’s Master Pieces

JI Xing

（School of Aerospace and Applied Mechanics, Tongji University，Shanghai, 200092）

Email: jixing@tongji.edu.cn

Abstract: The methodology of “the research of mechanics combined with applied mathematics” emphasized by Wei-zang Chien is discussed. The connotation of “the research of mechanics combined with applied Mathematics”is illuminated with Chien’s master pieces. The intrinsic theory of elastic shells and plates, problems of large deflection in elastic circular thin plates, the application of Lagrange multiplier in generalized variational principles are Chien’s master pieces. These Chien’s master pieces illuminates that how Wei-zang Chien reached the creative results based on the methodology of “the research of mechanics combined with applied mathematics”.

Key words: Applied mathematics, Theory of elasticity, Research of mechanics combined with applied mathematics



References
[1] China Association for Science and Technology， Profile of Chinese Science and Technology Experts, Engineering Technology Series，Mechanics,vol.1, 166－195，China Science and Technology Press，1997
[2] Jike Wu, Spread and development of modern mechanics in China，Beijing，Higher Education Press，2005
[3] Chien W.Z. Eighty-Readme. Shenzhen，Haitian Press，1998
[4] Xiufang Feng,^, Dai Shiqiang, Influence of Gottingen School of Applied Mechanics and the development of China's modern mechanics, Ninth Conference on Modern mathematics and Mechanics，2004，637－642
[5] Theodore von Karman，Progress in aerodynamics. CornelUniversity Press, 1954
[6] Xing Ji , Zheng Zhong , Ying Dai，On Methodology of Applied Mechanics，Chinese Quarterly Of Mechanics ，2004，25(4):470-477
[7] Xing Ji , Ying Dai，Zheng Zhong , Classical Theory of Elasticity and Methodology of Applied Mechanics,？ Mechanics and practice，2006，28(3):91－94
[8] Qian Huang，Several characteristics on Qian Weichang's academic thought,Journal of Shanghai University，1992，471－474
[9] Changjun Chen，Mr. Qian contributions to mechanics and applied mathematics，Advances in Mechanics，2010，40，480－495
[10] Xiufang Feng，Qian Weichang's philosophy and educational thought，Shanghai University Press，2007
[11] J.L. Synge and Chien Weizang., The intrinsic theory of elastic shells and plates, Applied Mechanics, Theodore Von Karmen Anniversary Volume, 1941：103－120
[12] Chien Weizang, et al., problems of large deflection in elastic circular thin plates. Beijing, Science Press,1954
[13] Chien Weizang, Generalized variational principle in theory of elasticity and its application in finite element analysis, Mechanics and Practice，1979，1，16—24.
[14] Mingwan Lu, Xuefu Luo, Foundamental Theory of Elasticity, TsinghuaUniversity Press, 1990