三矢矢量积在理论力学中应用的两例

陈立群

(上海大学力学系，上海 200444)

摘要：本文给出三矢矢量积在理论力学中应用的两个例子。推导了力系简化中力螺旋中心轴的参数方程。分析了定轴转动刚体上点的法向加速度。
关键词：三矢矢量积；力螺旋中心轴；法向加速度；理论力学

1 引言
三矢矢量积(triple vector product)公式

(1)

可以把三个矢量的矢量积运算转化为两个矢量的线性组合，组合系数是相关矢量的数量积。该公式出现在一些理论力学教材中，例如国内的教材[1-3]、美国教材[4,5]和德国教材[6]。多数力学教材都没有给出证明，只有[6]中说明可以用分量计算证明但没有具体推导。式(1)的证明可见于数学教材，例如[7]用矢量内禀的方式证明，[8]用分量计算证明。
 运用三矢矢量积可直接以矢量的方式讨论某些问题，而不用分别研究矢量的大小和方向，或者采用坐标表示。该公式在理论力学中的应用比较少。笔者见到的例子有，[1-3]用于计算定点运动刚体动量矩，[3]用于确定平行力系中心，[4]用于求解已知力矩求力或作用点的力矩反问题。本文给出式(1)在理论力学中应用的另外两个例子。
2 力螺旋中心轴的参数方程
 力系简化为力螺旋时，确定力矢作用线上一点P，使得该点与简化中心O连线与力矢垂直。事实上，若设力系向点简化得到的主矩M_O可以分解为与主矢垂直的分量M_O^和平行的分量M_O||，则

(2)

用力系主矢F_R从左叉乘上式两端，并利用式(1)，得到

(3)

注意到，以及和，由式(3)有

(4)

因此，对任意参数s，中心轴的上任意点矢量r可以表示为

(5)

式(5)即为力螺旋中心轴的参数方程。利用式(1)，可以验证式(5)给出的矢量r满足通常形式的中心轴方程^[9]

(6)

3 定轴转动刚体上点的法向加速度
 以角速度w定轴转动刚体上矢径为r的点的法向加速度aⁿ为

(7)

其中坐标原点即矢径r的起点在定轴上。利用式(1)，式(7)可写作

(8)

由式(8)可知，若，即矢径r的起点为该点向定轴作垂线的垂足，则aⁿ=-w²r。
 同理，用基点法分析平面运动刚体上点的加速度时，动点M相对于基点A的法向加速度为，其中r_MA表示从A指向M的矢量。

参考文献

[1] 洪嘉振, 杨长俊. 理论力学(第3版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2008: 11, 300
[2] 刘延柱, 朱本华, 杨海兴. 理论力学(第3版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2009: 432, 402
[3] 李俊峰, 张雄. 理论力学(第2版) [M]. 北京: 清华大学出版社, 2010: 379, 304