试析伽利略的力学研究之比例缩放思想¹⁾

——从“地狱”的演讲到《两门新科学》

 

杨？ 光²⁾ 陈凯锋 吕增建³⁾

（焦作大学 基础科学系，焦作？ 454000）

 

摘要： 1588年伽利略在佛罗伦萨学院做了两场学术演讲，这些演讲主要是关于《神曲》中炼狱图形的构想。从中可以看出伽利略在当时就已经意识到自然不是比例缩放不变的，而且在随后的兵工厂建设项目、《水中浮体》著作以及给友人的信件中伽利略都有关于比例缩放问题的想法和应用实例。这引导着他在后续的工作中逐渐形成了比例缩放的思想，并在力学名著《两门新科学》这本著作中最终呈现出来。
关键词：伽利略？ 比例缩放思想？ 比例缩放不变性？ 两门新科学
中图分类号：O4-09？？？？ 文献标识码：？？？？ 文章编号：

Analysis scaling ideas of Galileo in the mechanics

——From the speech of “Hell” to Two New Sciences

 Yang Guang Chen Kaifeng Lv Zengjian

Abstract: Galileo made two lectures at the Florence academy in 1588, th lectures  mainly talked about  the purgatory graphic of The Divine Comedy. From it, we can find that Galileo had realized that nature was not changed by scaling invariant. Galileo had ideas and applications about the scaling problem with the following Arsenal construction project, the works of The floating body in water and  the letters to friends. This led him to form a scaling ideas gradually in the following works, and, eventually, showed it in Two new science of the mechanical masterpiece.

Key words: Galileo Scaling theory  Scaling invariance Two New Sciences

1引言
伽利略1632年出版的《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》（以下简称为《对话》）在科学史上影响甚大。然而，从纯科学的观点来看，真正树立他在科学史丰碑的是他的另一篇科学杰作《关于两门新科学的对话和数学证明的对话集》（以下简称为《两门新科学》）^[1]，这是他最成熟的科学思想和研究成果。在书中，开篇以威尼斯兵工厂的一个实际建设项目（造船）为例，展开了比例缩放问题的讨论。因而有人认为：伽利略关于比例缩放的想法就是形成于此。细读《两门新科学》的话，从中不难发现：其实，伽利略在很早就已经有了一些关于比例缩放问题的思考。比如在伽利略早期的两篇被忽视的演讲报告中，关于但丁对于地狱的形状、位置和大小的描述，就是一个很好的佐证。本文从《两门新科学》追溯到伽利略早期的一次关于“地狱”的演讲，来尝试展现其比例缩放思想的形成。
2 伽利略的比例缩放思想
2.1《两门新科学》中的比例缩放不变性

伽利略的比例缩放思想是在解决物理学的实际问题中而产生的。伽利略在《两门新科学》中指出：“小的固体比大固体其表面积大。”^[2]也就是说，如果让一个宏观物体按比例缩小的话，物体体积比其表面积减小得快。因为面积是线度的平方，体积是线度的立方，所以体积减小得比表面积快。又因为重量与体积是按相同的比例变小，所以重量也比表面积减小得快。如果要从动力学上来分析的话，由于物体表面上存在的粗糙度和多孔性，当物体运动时，这些粗糙的地方和空气作用形成粘滞阻力，而面积因比体积减小得慢，其与表面积有关的粘滞阻力就不如与体积有关的重力减小的快，所以粘滞阻力与重力减少的比率不同。伽利略将这样的想法写进了《两门新科学》这本书中，并用其来分析自由落体的受力问题^[2]。

伽利略在《两门新科学》中断言，按比例放大的大船有在自重作用下船断裂的危险，但小型船只却没有^[3]。伽利略与他人不同，他在保留必不可少的物理的“几何”性质的同时，在其上添加了材料属性。这与伽利略在《对话》中所用到的数学与实验想结合的方法如出一辙。伽利略敢于向传统的思想挑战，不是先臆测事物发生的原因，而是先观察自然现象，由此发现自然规律，以及数学与物理属性间的内在联系。书中的不少例子就在解释此方面的内容。比如,伽利略的非常著名的观察：为什么动物不能简单地成比例的变大，那是因为当他们变的更大时，他们的骨头也必须成比例变得更重。伽利略在《两门新科学》中曾提出，动物形体尺寸变大时，躯体的强度并不按比例变大。他说：“一只小狗也许能够在它背上携带和它一样大的两或三只小狗，但是我相信一匹马甚至驮不起和它大小一样的一匹马。”^[4]

2.2追溯伽利略比例缩放思想的形成过程

早在1612年伽利略就应该是有关于比例缩放的想法了，因为此时伽利略已经出版了《水中浮体》这本著作。伽利略处理的最棘手的问题是一个比水密度大的薄板材料却浮在了水面上。在《水中浮体》中，伽利略提出了这样的观点“一个厚度一定的正方形薄板如果被分割成许多小正方形后，它的重量和体积随着尺寸的减少而成相应比例的减少，但比面积随尺寸的减少而减少得要快。而浮力的大小取决于面积的大小，所以相对而言，每一小块所受到的浮力显现得更大了”。伽利略提出这个观点纯粹是假设，很显然，正如我们现在所知道的：等厚的薄板被分割成许多小块时，其总浮力并不会增加，增加的是表面张力。因为表面张力是和板与液体的接触线的长度有关的。被分为小块以后，接触线的总长度增加了，所以总的表面张力也相应增加了。这里，我们并不是想讨论伽利略说法的正确性，而是想证明伽利略早在1612年对比例缩放问题已经有了具体应用的实例。

伽利略于1609年在给Antonio de’Medici的一封信里，却有一个更早的不是很明确的引用^[5]。这封信实际上应该是《两门新科学》的提纲。在信中伽利略写出了他最新的关于比例缩放方面的调查^[6]，这表明：早在1609年，在他的脑海里就已经形成了《两门新科学》的基本构架。如果我们从时间上来看的话，比例缩放思想在《两门新科学》出版前二十多年就已经有了相应的雏形了。

1592年伽利略受聘为兵工厂船舶设计的咨询师时就曾说：“有可能会在什么地方遇到比例问题。”这可能是早在1592年就出现比例缩放思想的地方。从《两门新科学》中还可以看到，虽然在造船厂Sagredo对于比例缩放不变性的失败是惊讶的，但Salviati（在书中代表伽利略）却不是很惊讶。他已经明白，并立即准备解释这一切给Sagredo。Salviati的这番表达就是伽利略的思想，因为伽利略本人可能早已有了一些较为成熟的比例缩放问题的思考。这意味着我们必须从历史上再往前去寻找比例缩放思想形成的时间，比如在伽利略的青年时代。

2.3关于但丁“地狱”的演讲

青年时期的伽利略曾把他包含比例缩放思想的数学证明送到一些意大利数学家手里，希望得到一些肯定。他幸运的得到托斯卡纳大公御用巡视员Guidobaldo del Monte的帮助^[7]。当比萨大学的首席数学教授对外公开招聘时，时任红衣主教的Guidobaldo del Monte安排伽利略于1588年去佛罗伦萨学院做了两场数学方面的演讲^[8]。

在演讲中，他出色地将数学与听众喜欢听的但丁的“地狱”模型结合了起来。伽利略说:“地狱不可能那么大，覆盖地狱的拱顶似乎不可能支持自身而不落下，假如地狱如此之高，那么拱顶必须非常薄。……如果连同海的深度是100英里的话，那么拱顶就需要非常厚，远远超过支撑自重的需要。”伽利略在试图描述一个地狱的模型，以约每100英里1布拉乔奥(古意大利的长度单位，相当于66或68厘米)厚的比例挖出一个空室为模型。一个正常的人的高度是3布拉乔奥，所以该模型显示一个大的穹顶，有点小于佛罗伦萨大教堂著名的布鲁内莱斯基穹顶。就像伽利略所说，不到4布拉乔奥的厚度完美的支撑了自重。这是一个令人信服的参数，但只是在认为尺度不变的前提下才成立!如果按比例将其放大100000倍，仍然成立吗? 绝对不是!这个升级版的模型实际上是脆弱的，受更多因素影响，会立即被自重压垮的。
据现有可查的历史资料中，这是最早出现伽利略比例缩放思想的事情。由此看出：早在1588年（甚至有可能更早），伽利略就应该已经有了比例缩放思想的简单结构了，并用此做为有效的防守反击武器来成功地赢得了辩论。

3 结论

从伽利略在佛罗伦萨学院的演讲到威尼斯兵工厂的实践，再到《两门新科学》的出版，可以看出：伽利略认为自然不是比例缩放不变的，这是在充分考虑数学内容和物理内容的基础上得出的结论。伽利略在比例缩放问题上倡导的数学与物理结合的方法，与他在《对话》中所提到的数学与实验相结合的方法相类似。这是他在科学上取得伟大成就的源泉，也是他对近代科学的最重要贡献^[9]。

伽利略为什么迟迟不肯发表他的比例缩放思想的有关想法呢？这应该是一个复杂的问题，原因可能很多，其较为突出的原因之一是：在充满辩论的文艺复兴时代的历史背景下，伽利略可能采取了“留一手”的策略。即对一个重要的理论成果保守秘密，直到需要它在辩论中进行防守和自卫。在有关浮体和地狱的辩论中，我们都可以看到伽利略的这种做法。另外，中年时期的伽利略可以说是一位公众人物，他频繁接触上流社会，社交活动颇多，他还进行科学实验，进行天文研究等等，他有太多的事情要做。我们推断比例缩放思想当时并没有受到他本人的重视，只是晚年受到宗教审判后，在有充分的时间进行一生学术总结的情况下，才将比例缩放的内容写进了《两门新科学》中。从书的内容中也可以看出，伽利略对比例缩放内容的不重视。因为全书从没有将比例缩放的内容作为一个专门的命题进行阐述，只是在其他命题的证明和解释中，或多或少的提及比例缩放的内容。从伽利略对比例缩放思想的态度和其比例缩放思想形成过程的研究来看，我们应该从中得到启发，特别是在高端研究领域，要及时对自己的学术成果和思想进行归纳和总结，以展现科学研究和发现的价值。

《两门新科学》介绍了在当时属于前沿的量纲分析的内容，这其实就是伽利略关于比例缩放想法的表达，而这些都来自于基本的物理学思想，目的是为了解决相关的物理问题。在书中，他系统地利用了他那个时代的数学去解决物理问题和论证新的物理定律，从而打开了通向现代精密科学的大门^[10]。众所周知，重整化群理论就是在粒子物理研究中为克服微扰发散困难而进行标度变换,从而得到群不变性的一种理论^[11]。所以通过对伽利略比例缩放思想的研究，我们可以认为伽利略就是标定度（或说是比例缩放）这一领域的先驱。

 

参考文献

 

[1]吕增建，科学史与科学文化[M].天津：南开大学出版社，2013.3. p. 59.

[2] Galileo Galilei(著),Henry Crew,Alfonso De Salvio(译). Stockbridge, Massachusetts, USA: Dialogues Concerning Two New Sciences[M],Hardpress Plublishing,2013. p. 90.

[3] Galileo Galilei(著),Henry Crew,Alfonso De Salvio(译). Stockbridge, Massachusetts, USA: Dialogues Concerning Two New Sciences[M],Hardpress Plublishing,2013. p. 2.

[4] (意)伽利略著,武际可译.关于两门新科学的对话[M]. 北京：北京大学出版社, 2006.

[5]武际可.？？打开近代科学之门的对话——力学史杂谈之十八，介绍伽利略的《关于两门新科学的对话》[J]. 力学与实践. 2006，28(05)：89-91.

[6] Stillman Drake, Galileo at Work: His Scientific Biography. New York,USA: Courier Dover Publications, 2003. p. 16-17.

[7] Galileo Galilei(著),Henry Crew,Alfonso De Salvio(译)Dialogues Concerning Two New Sciences[M]. Stockbridge, Massachusetts, USA: Hardpress Plublishing,2013. p. 100.

[8] Stillman Drake, Galileo at Work: His Scientific Biography. New York,USA: Courier Dover Publications, 2003. p. 13.

[9] Mario Biagioli，Galileo Courtier: The Practice of Science in the Culture of Absolutism.Chicago,USA:University of Chicago Press，1993，p. 30-31.

[10]邱德胜，钟书华，经典力学的奠基人——伽利略[J]. 力学与实践. 2005，27(03)：91-94

[11]《数学辞海》编辑委员会，数学辞海：第五卷[M].北京：中国科学技术出版社，2002，8.