音乐背后的数学

数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)说:“音乐是一种隐藏的算术练习,透过潜意识的心灵跟数目在打交道。” 近代作曲家斯特拉文斯基 (Stravinsky,1882-1971)说:“音乐的形式较近于数学而不是文学,音乐确实很像数学思想与数学关系。”他注意将“像数学思想的东西”溶入他的音乐作品之中。

音乐为何悦耳、调和、美呢?可否说出一些道理?

  

田野中昆虫啁啾的鸣叫,枝头鸟儿清脆的叫声,《牧笛》优美动听的旋律,贝多芬令人振奋的交响曲……,你当沉浸在这些美妙的音乐中时,你是否想到了它们与数学有着密切的联系呢?

人们对数学与音乐之间联系的研究和认识,可以说源远流长。相信音乐的背后有数学规律可循,并且努力去追寻出音律,是公元前5、6世纪最著名的毕达哥拉斯学派。而中国古代的“三分损益法” 就是通过数学运算研究音律的方法。人们常用的乐谱也是数学在音乐上应用得最为显著的地方之一。

一 音律背后的比例和分数乘法

音的高低由弦振动的频率决定。如何定出音律,即定出音阶:

C D E F G A B C
do re mi fa sol la si do

的频率比?这是音乐的根本问题。

1.毕达哥拉斯琴弦律

毕达哥拉斯发现音律有一段美丽的故事。有一天毕达哥拉斯偶然经过一家打铁店门口,被铁锤打铁的有节奏的悦耳声音所吸引。他感到很惊奇,于是走入店中观察研究。他发现有四个铁锤的重量比恰为12:9:8:6,将两个两个一组来敲打都发出和谐的声音,分别是:12:6=2:1的一组,12:8=9:6=3:2的一组,12:9=8:6=4:3的一组。毕达哥拉斯进一步用单弦琴做实验加以验证,参见图2。对于固定张力的弦,利用可自由滑动的琴马来调节弦的长度,一面弹,一面听。

 

毕达哥拉斯经过反复的试验,终于初步发现了音乐的奥秘,归结出毕达哥拉斯的琴弦律:

(1)当两个音的弦长成为简单整数比时,同时或连续弹奏,所发出的声音是和谐悦耳的;

(2)两音弦长之比为4:3,3:2及2:1时,是和谐的,并且音程分别为四度、五度及八度。

也就是说,如果两根绷得一样紧的弦的长度之比是 2 : 1, 同时或连续弹奏,就会发出相差八度的谐音; 而如果两条弦的长度的比是 3 : 2时, 就会发出另一种谐音,短弦发出的音比长弦发出的音高五度; 等等。

物理学家伽利略(1564-1642)发现弦振动的频率跟弦长成反比。因此,我们可以将毕达哥拉斯所采用的“弦长”改为“频率”来定一个音的高低。从而毕达哥拉斯的发现就是:两音的频率比为1:2,2:3及3:4时,分别相差八度、五度及四度音。例如,频率为200与300的两音恰好相差五度音。
   单弦琴

毕达哥拉斯音律是弦长的简单整数比。声音透过一些简单而固定的比例,形成令人喜悦的和谐音乐,这就是一种特别的数学表现。不仅如此,和谐的比例还贯穿于整个艺术、大自然和人生之中。毕达哥拉斯的门徒们相信星球距离地球也成简单整数比,它们绕地球运行时会发出美妙的球体音乐。

二 乐谱上的分数

在乐谱中, 我们可以找到拍号、 单纯音符、附点音符等,莫不与分数息息相关。谱写乐曲要使音符适合于每音节的拍子数,这实质是分数求和的过程——在一个固定的拍子里,不同时值的音符必须使它凑成一个特定的节拍。

在每一首乐曲的开头部分,我们总能看到一个分数,比如4/4,3/4 ,或6/8等,这些分数是用来表示不同拍子的符号,即拍号。其中分数的分子表示每小节中单位拍的数目,分母表示以几分音符为一拍。如 ,4/4表示以四分音符为一拍,每小节4拍。拍号一旦确定,那么每小节内的音符就要遵循由拍号所确定的拍数,这可以通过数学中的分数加法法则来检验。比如,就符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数。因为1/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3/4; 而不符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数,因为  1/16+1/2+(1/4+1/8)=15/16≠4/4,1/8+1/2=5/8≠3/4。这些看似简单的要求正是音乐作曲的基础。

 

对乐声本质的研究,在19世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶峰。他证明了所有的乐声——不管是器乐还是声乐——都能用数学表达式来描述,它们是一些简单的正弦周期函数的和。每种声音都有三种品质:音调、音量和音色,并以此与其他的乐声相区别。

傅立叶的发现,使人们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区分。音调与曲线的频率有关,音量与曲线的振幅有关,而音色则与周期函数的形状有关。

很少有人既通晓数学又通晓音乐,这使得把计算机用于合成音乐及乐器设计等方面难于成功。数学的发现,即周期函数,是现代乐器设计和计算机音响设计的精髓。

 

许多乐器的制造都是把它们产生的声音的图象,与这些乐器理想声音的图象相比较然后加以改进的。电子音乐的创作也跟周期图象紧密联系着的。音乐家和数学家们将在音乐的创作与再创作方面,继续担任着同等重要的角色。

事实上,随着对数学与音乐关系之认识的不断加深,以数学计算代替作曲,已成为现代作曲家的一种创作方式。创作乐曲乃是将作曲的过程公式化,把音程、节奏、音色等素材都编成数码,然后按照需求发出指令,以计算器的功能进行选择,再将其结果编写成乐曲并演奏出来。在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方面,都需要数学。在音乐界,有一些数学素养很好的音乐家为音乐的发展做出了重要的贡献。所以,对音乐表演和创造有爱好或特长的学生如果能学好数学,必然能更好地为从事音乐事业作知识预备。