《孙子算经》中“物不知数”的问题

在古代《孙子算经》中记载着一个“物不知数”的问题，说：有一数，三三数之余二，五五数之余二，七七数之余二，问此数为何？《孙子算经》还给出解这题的方法：“术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百十一减之即得。”

秦九韶《数书九章》卷一“大衍总数术”是《孙子算经》中“物不知数”题算法的推广。从“孙子问题”到“大衍总数术”关于一次同余式求解的研究,形成了中国古典数学中饶有特色的部分。这方面的研究,可能是受到了天文历法问题的推动。

秦九韶在书中第一次非常系统地介绍了一次同余方程组一般的求解方法，他提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整过程。至此由《孙子算经》“物不知数”产生的一次同余式问题，才有了一个真正的一般解法。这项研究比西方要早五百多年。

秦九韶在《数书九章》中广泛应用大衍总数术来解决历法、工程、 赋役和军旅等实际问题，在这些问题中，模数ai 并不总是两两互素的整数。 秦九韶区分了“元数”（整数）、“收数”（小数）“通数”（分数）等不同情形。大衍总数术 将收数和通数化成元数情形，而对于元数非两两互素的情形，则给出了可靠的计算程序把问题化归为两两互素的情形，这是历史上第一次对模数非两两互素的同余式组的处理。 

在中国人之后，古代的印度数学家也考虑类似“孙子问题”，而欧洲是在1202年意大利数学家斐波那契写的《算法之书》中才有两个一次同余问题。

在欧洲，18世纪数学家欧拉和19 世纪的数学家高斯分别对一次同余组进行过深入的研究。重新独立地获得与秦九韶“大衍求一术”相同的定理。高斯在1801年出版的他的数学名著《算术探究》中，完整地提出了一次同余方程式组问题的理论与解法，并对模数两两互素的情形给出了严格证明，因此欧洲人把它称为“高斯定理”。

而中国人从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》对一次同余式问题研究的成果，直到19世纪中期才被西方数学界认识。1847年，懂汉语的英国传教士伟亚力来到中国，是他在1852年把《孙子算经》的“物不知数”和秦九韶的“大衍求一术”介绍到欧洲。1876年，德国人马蒂生指出，中国关于一次同余组的解法与《算术探究》中的高斯定理是完全一致的。这才引起了欧洲学者对这个问题的关注。从此中国古代数学的这一成就才逐渐被世界数学界承认，于是在西方数学史著作中被正式命名为“中国剩余定理”。

南宋数学家秦九韶是高次方程数值求解领域的集大成者。他在《数书九章》中,将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形。他将自己的方法称为“正负开方术”。正负开方术是求高次代数方程的完整算法。这也是秦九韶的另一个重要的数学成就。

秦九韶的“正负开方术”是给出了一个机械化的迭代程序来计算新方程的系数a′0，a′1，…，a′n，这个程序与贾宪增乘程序的主要区别在于，后者在以试商由下而上累乘累加，在最后，要将所得结果从常数项中减去。而秦九韶的程序由于规定了“实常为负”，将整个运算都统一为加法，彻底实现了机械化的随乘随加。另外秦九韶的程序也可以用来求解一般的高次方程，在他的《数书九章》一共包含了21 个高次方程，其中次数最高的是10 次方程。

“正负开方术”代表了当时中国关于高次方程求解方法的实际水平，证明中国人对高次方程问题的研究还是处于领先地位的。