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中科院力学所
中国古代的算筹和筹算
力学园地
2014年04月29日
编者按：本刊收到网友来信，提到他近期参观孔庙时得知孔子时代的运算工具之一是算筹。但他对这种工具知之甚少，很是困惑。本刊发表此文，对算筹和筹算进行介绍，以飨读者。
何谓算筹？
所谓算筹，其实就是一把刻得很整齐的竹棍，直径约两到三毫米，长度十厘米左右。除竹制的以外，还有木、铁、玉石、骨、象牙制的算筹。把算筹装在袋子里或笔筒中随身携带，这就是古人说的“算袋”或“算子筒”。唐代曾经规定，文武官员都必须备有算袋，以提高决策的科学性。
用算筹表示数，有纵式和横式两种方式。在纵式中，纵摆的每根算筹都代表1，表示6~9时，则上面摆一根横的代表5。横式中则是横摆的每一根都代表1，其上面纵摆的一根代表5。而且规定个位和百位必须用纵式，十位和千位必须用横式，纵横相间，使各位界限分明，以免发生混乱。算盘中上面的一个子代表5，下面的一个子代表1，是从算筹延续下来的。计数的十进位制是我国古代文明最重要的发明之一。图3表示我国古代用算筹记数的纵、横两种方式：
用算筹运算，有一套规则和口诀。中国古人不但可以用它做加减乘除四则运算，还可以乘方开方，连多元高次方程这样高深的数学难题都可以解出来，不可不谓之奇迹。
中国的算筹和筹算制度，在春秋战国时期已经比较成熟了。《老子》一书中讲到：“善计者不用筹策”，表明那时算筹已经很普遍了。《易经》中八卦的图标由横竖长短不同的横线组成，可能与当时算筹的使用有关。
1954年在湖南长沙左家公山出土的战国时代古墓，内藏竹算筹40根，每根长12厘米。
1975年在湖北江陵凤凰山汉墓中发现竹制算筹。
1971年考古学家从陕西千阳县一座出土的西汉古墓中发现一束在一个丝袋内（算筹袋）保存完好的兽骨算筹，长短不一，最长的13.8厘米，最短的12.6厘米，截面呈圆形，直径在2-4毫米间。
1980年从河北石家庄出土的30根东汉骨算筹，长7.8-8.9厘米，截面方形，边长约0.4厘米。此外在陕西旬阳汉墓中出土象牙筹27根。
1983-1984，湖北江陵张家山西汉古墓中出土竹算筹。
1973年9月，湖北省江陵县凤凰山出土的十号汉代古木木牍，其中有一片记有“当利二月定算”的字样，这是文献中最早出现的以筹码代替文字记数的例子之一。
运筹学名称来源
出谋划策时，对有关问题必须经过数学计算，计算就要用算筹，所以，“运筹”成为“出谋划策”的代名词。汉高祖刘邦在总结打败项羽原因时，说张良是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，后来“运筹帷幄”成为一个成语。现代数学中，有一个分科叫“运筹学”，其名称也来源于古代筹算。
算筹发展为算盘
从周代到元代，筹算在我国应用了约二千年，对中国古代数学的发展功不可没，南北朝数学家祖冲之计算圆周率应该就是用算筹完成的。但算筹也有严重的缺点：运算时需要较大的地方摆算筹，位数越多，问题越难，需要摆的面积越大，用起来不大方便。另一个重要问题是运算过程不保留。它的运算过程实际上就是挪动算筹，运算了下一步，上一步就看不到了。虽然这有节约纸的好处，但如果有了错误就不好检查，学习者学习起来也很困难。元朝数学家朱世杰，能用筹算解四元高次方程，其数学水平居世界领先地位，但是他的方法太难懂了，因而后继无人。中国古代数学不能发展为现代数学，筹算方法的限制是一个重要原因。元末明初之后，珠算逐渐代替了筹算。筹算的重要缺点是运算过程不保留，出了错误不便检查，只好重算一遍。这个缺点，珠算仍然有。
何谓算筹？
所谓算筹，其实就是一把刻得很整齐的竹棍，直径约两到三毫米，长度十厘米左右。除竹制的以外，还有木、铁、玉石、骨、象牙制的算筹。把算筹装在袋子里或笔筒中随身携带，这就是古人说的“算袋”或“算子筒”。唐代曾经规定，文武官员都必须备有算袋，以提高决策的科学性。
图1 算筹
图2 筹算
算筹如何计数
用算筹表示数，有纵式和横式两种方式。在纵式中，纵摆的每根算筹都代表1，表示6~9时，则上面摆一根横的代表5。横式中则是横摆的每一根都代表1，其上面纵摆的一根代表5。而且规定个位和百位必须用纵式，十位和千位必须用横式，纵横相间，使各位界限分明，以免发生混乱。算盘中上面的一个子代表5，下面的一个子代表1，是从算筹延续下来的。计数的十进位制是我国古代文明最重要的发明之一。图3表示我国古代用算筹记数的纵、横两种方式：
图3 算筹计数
如要表示一个多位数字，即把各位的数字从左到右横列，各位数的筹式需要纵横相间，个位数用纵式表示，十位数用横式表示，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式。
图4
算筹运算
用算筹运算，有一套规则和口诀。中国古人不但可以用它做加减乘除四则运算，还可以乘方开方，连多元高次方程这样高深的数学难题都可以解出来，不可不谓之奇迹。
图5 算筹加法运算
图6 算筹减法运算(自上而下减，答数在左方)
古人乘法/除法皆为从左至右算，乘数在上，被乘数在下，积放在中间。古人计算用"筹"不用笔，筹算可以任意改变形态，所以左至右算根本不麻烦。如算49乘36的步骤，结果是1764。
图7 算筹乘法
算筹还可以解联立方程组。“九章算术”是东汉编订的数学经典著作。方程中一次方程组可由算筹布置。如下图1，图2中各行从左到右列出算筹数分别表示未知数X,Y的系数与对应的常数项。算筹图可表达为：
图8 算筹解代数联立方程
算筹考古
中国的算筹和筹算制度，在春秋战国时期已经比较成熟了。《老子》一书中讲到：“善计者不用筹策”，表明那时算筹已经很普遍了。《易经》中八卦的图标由横竖长短不同的横线组成，可能与当时算筹的使用有关。
图9 周易八卦图
现在考古发掘出的算筹实物，最早是汉代的。
1954年在湖南长沙左家公山出土的战国时代古墓，内藏竹算筹40根，每根长12厘米。
1975年在湖北江陵凤凰山汉墓中发现竹制算筹。
1971年考古学家从陕西千阳县一座出土的西汉古墓中发现一束在一个丝袋内（算筹袋）保存完好的兽骨算筹，长短不一，最长的13.8厘米，最短的12.6厘米，截面呈圆形，直径在2-4毫米间。
1980年从河北石家庄出土的30根东汉骨算筹，长7.8-8.9厘米，截面方形，边长约0.4厘米。此外在陕西旬阳汉墓中出土象牙筹27根。
1983-1984，湖北江陵张家山西汉古墓中出土竹算筹。
1973年9月，湖北省江陵县凤凰山出土的十号汉代古木木牍，其中有一片记有“当利二月定算”的字样，这是文献中最早出现的以筹码代替文字记数的例子之一。
运筹学名称来源
出谋划策时，对有关问题必须经过数学计算，计算就要用算筹，所以，“运筹”成为“出谋划策”的代名词。汉高祖刘邦在总结打败项羽原因时，说张良是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，后来“运筹帷幄”成为一个成语。现代数学中，有一个分科叫“运筹学”，其名称也来源于古代筹算。
算筹发展为算盘
从周代到元代，筹算在我国应用了约二千年，对中国古代数学的发展功不可没，南北朝数学家祖冲之计算圆周率应该就是用算筹完成的。但算筹也有严重的缺点：运算时需要较大的地方摆算筹，位数越多，问题越难，需要摆的面积越大，用起来不大方便。另一个重要问题是运算过程不保留。它的运算过程实际上就是挪动算筹，运算了下一步，上一步就看不到了。虽然这有节约纸的好处，但如果有了错误就不好检查，学习者学习起来也很困难。元朝数学家朱世杰，能用筹算解四元高次方程，其数学水平居世界领先地位，但是他的方法太难懂了，因而后继无人。中国古代数学不能发展为现代数学，筹算方法的限制是一个重要原因。元末明初之后，珠算逐渐代替了筹算。筹算的重要缺点是运算过程不保留，出了错误不便检查，只好重算一遍。这个缺点，珠算仍然有。
（白迺彬撰文）