稳定性漫谈

陈立群

上海大学力学系，上海 200444

摘要：本文通俗地介绍稳定性。首先引入平衡稳定性的概念。随后简介了平衡稳定性的判断方法。接着引入了运动稳定性概念，并说明李雅普诺夫稳定性与庞卡莱轨道稳定性的区别。最后简要提交与稳定性相关的一些学科方向。
关键词： 稳定性，平衡稳定性，运动稳定性，轨道稳定性

1 引言
稳定一词的字面意思为坚持或保持。形容词“稳定的”的英文和法语stable、德文stabil均来源于拉丁文stbilis。最早见于罗马共和国末期的诗人和哲学家卢克莱修(Titus Lucretius Carus，约前99年-约前55年)所写的哲理长诗《物性论》([1] 140页)：
因为水就是这样动的，
一受到最微小的影响就波动，
由于它是由会滚动的小形粒子所构成；
但是相反地密的本性则是更稳定，
它的液汁更富于懒性，它流动更迟缓；
因为它的物质更牢结在一起，
因为，实在说，构成它的粒子，
不是这样地光滑，不是这样地小而圆。
在汉语中，“稳定”是舶来品，本土原先很少用，因此始编于1908年主要收录1840 年以前的汉语词汇的《辞源》都没有收入“稳定”。罕见的一个古代使用例子见于《清史稿 列传一百七》，其中收有1814年河东河道总督栗毓美(1778-1840)上疏，论证用烧砖筑堤的必要性----能在水流冲击下不动，“上年盛涨，较二年及十二年尤猛迅，砖坝均屹立不移。仪睢、中河两厅，河水下卸，塌滩汇坝，抢镶埽段，旋即走失，用砖抛护，均能稳定。([2]11656页)”
传统汉语中，与稳定意思接近的词是“安稳”，意思是平安稳妥。除去天下局势太平、人心所向的引申含义外，主要用于说明行舟的平稳无惊。南朝宋临川王刘义庆(403-444)所撰《世说新语 排调》记载，东晋书法家、画家顾恺之(348-409)遇风浪后写信报平安，“行人安稳，布帆无恙。([3]438页)”这一故事也收入《晋书 列传第六十二》([4]2404页)。《宋史 志第一百四十八兵九》记载北宋抗金名臣李纲(1083-1140)的主张，“水战之利，南方所宜。沿河、淮、海、江帅府、要郡，宜效古制造战船，以运转轻捷安稳为良。又习火攻，以焚敌舟。([5]4869页)”。《清史稿 列传七十九》记载1723年江西巡抚裴幰度(?-1740)上疏设关榷税事宜“九江旧关，上有龙开河、官牌夹，下有老鹤塘、白水港，地势宽平，泊舟安稳。([6]10311页)”
除行舟外，安稳还用于说明人的体态步态。《庄子 应帝王》中说“泰氏其卧徐徐，其觉于于”，司马彪(?-306)注：“徐徐，安稳貌。([7]289页)”《潜夫论 相列》说人的相法，“手足欲深细明直，行步欲安稳覆载。([8]310页)”也用于说明车辆行走安定平稳。《晋书 志第十五》解释天子车的五牛旗的含义，“牛之为义，盖取其负重致远而安稳也。([9]754页)”
稳定性是个重要而基本的科学概念，在其发展过程中已经有含义丰富。我们先从最基本的平衡的稳定性谈起，随后说明运动稳定性。

2 稳定性的概念
物理学中有平衡的概念，物体受合力为零，就处于平衡状态。在惯性系(满足牛顿第一运动定律的参考系)中，若物体原先没有运动，平衡就意味着静止。一支铅笔，末端用一根细线吊起来，就处于平衡状态，因为细线对铅笔的拉力与铅笔自身的重力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，因此合力为零。如果把铅笔笔尖朝下立在水平桌面上，理论上如果铅笔立的足够直，仍然有桌面对铅笔的支撑力与铅笔的重力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，合力为零，故铅笔可以保持直立状态。但事实上，这与我们的生活经验相悖，不论我们怎样努力地尝试，很难把铅笔笔尖向下直立在在桌面上。
从上面铅笔的例子中，我们知道平衡其实有两类。一类平衡是物理上有可能实现的，这种平衡成为稳定的。稳定平衡的特征是，如果初始受到扰动而偏离了平衡位置，只要初始的偏离足够小，对平衡位置的小偏离不会随着时间的推移而变大。另一类平衡是物理上很难实现的，这种平衡称为不稳定的。不稳定平衡的特征是，不论初始受到扰动的而偏离平衡位置多么小，对平衡位置的偏离在一定时间后总会大于事先给定的范围。因此，刻画平衡的稳定性其实包含两个基本度量，一个是初始偏离的幅值，另一个是足够长时间后对平衡文章的偏离。对于学过数学分析的读者，可以联想到函数极限的e-d定义或者函数连续e-d的定义，从而给出更确切的数学描述。
仍以前面提到的铅笔为例。笔尖向下的铅笔之所以不可能直立在桌面上，是因为由于不可避免的扰动存在，例如铅笔周围空气的流动、桌面的轻微振动等，直立的位置要受到扰动而有所偏离；一旦偏离，重力作用线就不再过支撑点，重力对支撑点的力矩将使铅笔倾倒，这种偏离会迅速放大，导致平衡状态破坏；因此这种平衡是不稳定的。而末端用细线吊着的的铅笔，尽管也受空气流动、细线抖动等扰动而会偏离平衡位置；在重力作用线偏离捆绑点后，重力对细线捆绑点的力矩将是铅笔回到直立的位置；这种偏离不会扩大，因此能保持平衡状态；这种平衡是稳定平衡。
平衡只是要求初始的误差不扩大，但没有涉及初始的误差是不是减小。如果扰动导致的初始偏离不仅不增大，反而在时间足够大后能回到平衡位置，这种稳定性称为渐近稳定性。例如，一粒小米放在半球形的碗里，则碗的最低位置是平衡位置。被移开最低位置的小米不会走的更远，因此平衡是稳定的。若小米与碗没有摩擦，小米也不会回到平衡位置，而是在平衡位置周围振荡，因此平衡不是渐近稳定的。若小米与碗之间存在模型，则小米最后会重新停在平衡位置上，这就是不仅是稳定而且也是渐近稳定了。
根据所涉及问题的需要，平衡的稳定性还可以进行更细致的刻画。如果平衡的稳定只是对很小的初始偏离成立，这种稳定性成为局部稳定性；如果对任意大的初始偏离都成立的稳定性成为全局稳定性。平衡意味着，对于任意时间的运动偏差范围，都存在一个初始偏差范围，在这个范围内，运动偏差幅值小于给定的值。一般而论，运动偏差幅值与初始偏差范围的对应数量关系，与初始时刻有关；如果这种对应关系与初始时刻的选择无关，相应的稳定性称为一致稳定性。稳定的各种性质可以累加，例如有全局一致渐近稳定。
回到开始铅笔能否以笔尖立住的问题。虽然在固定的桌面上铅笔不能直立，但如果把笔尖放在手指头上，手适当运动，还是有可能保证铅笔直立。当然，这需要练习以掌握技巧。这种通过主动输入使得原来不稳定的平衡变成稳定的过程，称为镇定。镇定是很典型的一类控制问题。

3 平衡稳定性的判断
无论在理论研究还是工程应用中，稳定性的判断都是一个重要的问题。建立稳定性的判据有两种途径。一种是发展一般的判别方法，并应用于具体系统。这方面的代表性工作是俄罗斯数学家和力学家李雅普诺夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, 1857-1918)1892年在其博士论文中提出的直接方法又称第二方法。他的博士论文是划时代的工作，其中给出了稳定性的严格数学定义，提出了利用线性化系统本征值判断稳定性的第一方法和构造后来一个专门函数判断稳定性的第二方法。《国际控制杂志》在该文发表100年后，重新发表该文英文译文([10])。另一种途径就是针对具体的物理系统，发展相应的判别方法。以下介绍后一类型工作的例子，所研究的具体系统是保守系统。
最早的稳定性判据是意大利数学家、物理学家托里拆利 (Evangelista Torricelli, 1608-1647)在1644年提出的。托里拆利是意大利物理学家、数学家、天文学家和哲学家伽利略(Galileo Galilei, 1564–1642)的学生和生命最后2年里的助手，并且在1642年伽利略逝世后继任的宫廷数学家和比萨学院数学教授职位。托里拆利提出，物体系统的重心处于最低位置是，该系统能保持静止。用现在的术语，就是处于稳定平衡状态。这与人们的物理直觉一致。如果重心不在最低文章，重力的作用就可能是重心下降，从而破坏系统的平衡。如前面所说铅笔的例子，用细线悬挂的铅笔重心在最低位置，任何扰动破坏平衡都使重心升高，因此这个平衡是稳定的。而直立在桌面上的铅笔，重心是在最高位置，任意小的扰动都能破坏平衡。中国古籍中也有类似说法。汉淮南王刘安 (前179－前122) 等所著《淮南子 说山训》用“下轻上重，其覆必易。([11] 1109页)”说明末不可以强于本的哲理。玩具“不倒翁”就是利用低重心导致的稳定性。“不倒翁”的下半部分是个半球形，整个“不倒翁”的重心在半球形的球心下方，这样重心就处于最低位置，类似与悬挂的铅笔，不论怎样偏离直立的平衡位置，都不会扩大偏离而倒下。
中国的欹器，就是充分利用重心变化而改变稳定性的一种酒器。按古代文献记载，当欹器空的时候倾斜，液体装到一半时就会直立起来，而在装得基本满时又会倾斜。相传春秋五霸齐桓公(前716－前643年)总会在座位右侧放置欹器来警惕自己不要骄傲自满。在齐桓公逝世后，许多人争相效仿，但因欹器制作不易，后人多用金属器物上刻上铭文放于右侧代替。这也是座右铭来源的一种说法。《荀子 宥坐》记载，思想家和教育家孔子(前551-前479)曾借欹器说明满则覆的道理，孔子观于鲁桓公之庙，有欹器焉，孔子问于守庙者曰：‘此为何器？’守庙者曰：‘此盖为宥坐之器，”孔子曰：‘吾闻宥坐之器者，虚则欹，中则正，满则覆。’孔子顾谓弟子曰：‘注水焉。’弟子挹水而注之。中而正，满而覆，虚而欹，孔子喟然而叹曰：‘吁！恶有满而不覆者哉！’([12]520页)”类似记载也见于《孔子家语 三恕》([13] 76页)。欹器又称侑卮。据《文子 九守》，“三皇五帝有戒之器，命有侑卮，其沖即正，其盈即覆。([14]158页)” 可惜现在尚未出土欹器实物。
北宋科学家、政治家沈括(1031-1095)将重心低稳定性好的原理应用于车辆设计。他在《忘怀录》中写道，“安车车轮不欲高，高则摇。”《忘怀录》原书已经佚失，引文见于清代类书《古今图书集成 明伦汇编 人事典 游部》([15]62页)。
如果系统不仅受重力作用，还有其它有势力如弹簧力，被称为保守系统。对于保守系统，1788年，法国数学家和力学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)在其经典著作《分析力学》(有英译本[16])中证明，势能取极小值，平衡稳定；势能取极大值，平衡不稳定。其中涉及的平衡位置应该是孤立的，如前述铅笔线悬或直立的情形，都是孤立平衡位置。后来这个结果有一系列完善和发展。

4 运动稳定性
平衡的稳定性强调受扰动而产生初始误差是否随时间放大。从同样的观点，还可以考虑初始误差对随后运动的影响，即运动稳定性。一个系统，在给定的初始条件下做未受扰动运动；在初始时刻受到扰动，对应改变了的初始条件有受扰动运动。笼统说，运动稳定性是要求初始扰动充分小时未受扰动运动和受扰动运动足够接近。运动稳定性显然是非常有实际意义的研究课题。例如，所有运载工具，外太空中的宇宙飞船，地球附件天空中的喷气式飞机，地球表面陆地道路上的车辆，地球表面海洋湖泊上航行的船只，运行都必须平稳，不能受到微小的外部影响就显著改变原来的运动状态。
为对运动稳定性有感性认识，可以动手做个小实验。拿本稍微厚一些的精装书，例如字典。把书放在两手之间，书脊对着自己，让书绕其封面和封底的中心点连线旋转。中心点不准确也问题不大。这样你可以轻而易举地让书旋转几圈。现在把书脊对着你直立的书放倒，使书脊水平并仍对着自己，拿着书的顶边和底边，绕顶边和底边中点连线旋转，书还是能转上几圈。最后把前面那种水平放置的书在水平面内转个直角，两手拿着书脊及其对边，绕书脊和对边中点的连线旋转，将会发现在与前面两种情形相同的角速度下，书很容易翻跌和扭歪，很难保持转动。前面两种情形的转动具有运动稳定性，而后面一种转动不稳定。这些现象可以用稳定性理论严格证明。
运动稳定性与平衡稳定性关系密切。一方面，平衡是运动的一种特殊情形，因此平衡稳定性可以视为运动稳定性的一种特殊情形。另一方面，如果选取以未受扰动运动方式运动的平动参考系，在平动参考系中研究受扰动的运动，原来的运动稳定性也可以视为在动参考系中的平衡稳定性。
前面讨论平衡稳定性和运动稳定性都是强调初始条件对所有时刻运动的影响。这种稳定性称为李雅普诺夫意义上的稳定性。稳定性问题的提法，与所研究的对象有关。例如，在天体力学中，人们往往不特别关注星体具体时刻的位置，而是考虑初始扰动对整个运动轨迹的影响，这样就有了轨道稳定性概念。法国数学家和力学家庞卡莱(Jules Henri Poincar 1854-1912)在1892-1899年间出版的3卷本经典著作《天体力学新方法》(有英译本[17])中，对轨道稳定性做了系统研究。轨道稳定性要求在初始扰动充分小时受扰动轨道与未受扰动轨道足够接近。两种稳定性含义不同，李雅普诺夫稳定性要求受扰动和未受扰动轨道上同一时间两点间距离足够小，而庞卡莱的轨道稳定性要求轨道之间的法向距离足够小。天体力学中还有其它的稳定性定义。例如，拉格朗日稳定性，只要求受扰动运动保持有界。在1984年，在阿波罗登月计划中起关键作用的美国德克萨斯大学奥斯丁分校的工程讲席教授西贝赫利(Vector G. Szebehely 1921-1997)就总结过，与天体力学相关的稳定性概念就已经超过数十种之多( [18])。

5 结束语
除前面提到的平衡稳定性和运动稳定性外，还有其它类型的稳定性理论。例如，对扰动可以有更广泛的理解，除初始扰动外，数学建模过程中忽略的因素，也可以看作一种扰动；考察这种建模误差对运动的影响，就有了结构稳定性概念，又称为鲁棒性。稳定性理论也在学科交叉中发展；稳定性思想与计算方法结合，发展成了算法稳定性理论；稳定性思想与力学结合，发展成了弹性稳定性、流动稳定性等新理论；稳定性思想与控制理论结合，形成了输入-输出稳定性理论。

参考文献

[1] 卢克莱修著, 方书春译. 物性论[M]. 北京: 商务印书馆, 1982.
[2] 赵尔巽等. 清史稿(第三十八册) [M]. 北京: 中华书局, 1977.
[3] 徐震堮著，《世说新语校笺(下册)[M]. 北京: 中华书局，1984.
[4] 房玄龄等撰. 晋书(第八册) [M].北京: 中华书局, 1974.
[5] 脱脱等撰. 宋史(第一四册) [M]. 北京: 中华书局, 1977.
[6] 赵尔巽等. 清史稿(第三十四册) [M]. 北京: 中华书局, 1977.
[7] 郭庆藩撰, 王孝鱼点校. 庄子集释(上册) [M]. 北京: 中华书局, 2004.
[8] 王符著, 汪继培笺, 彭铎校正. 潜夫论笺校正[M]. 北京: 中华书局, 1985.
[9] 房玄龄等撰. 晋书(第二册) [M]. 北京: 中华书局, 1974.
[10] A. M. Lyapunov. The general problem of the stability of motion [J]. International Journal of Control, 1992, 55(3): 531-773.
[11] 何宁撰. 淮南子集释(下册) [M]. 北京: 中华书局, 1998.
[12] 王先谦撰, 沉啸寰、王星贤点校. 荀子集解(下册) [M]. 北京: 中华书局, 1988.
[13] 王国轩、王秀梅译注. 孔子家语[M]. 北京: 中华书局, 2009.
[14] 王利器撰. 文子疏义[M]. 北京: 中华书局, 2000.
[15] 陈梦雷、蒋廷锡等编. 古今图书汇编(三九三册) [M]. 北京: 中华书局, 1934.
[16] J. L. Lagrange. Analytical Mechanics [M]. Springer, 1997.
[17] H. Poincar . New Methods of Celestial Mechanics [M]. vols. 1-3. American Institute of Physics, 1993.
[18] V. Szebehely. Review of concepts of stability [J]. Celestial Mechanics, 1984, 34: 49-64.

Informal Explanation of Stability

Chen Liqun